कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} {(x^{2} + 1)}^{10} (2 x) d x$

चरण 1

$2$ को ${(x^{2} + 1)}^{10}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int_{0}^{1} 2 {(x^{2} + 1)}^{10} x d x$

चरण 2

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int_{0}^{1} {(x^{2} + 1)}^{10} x d x$

चरण 3

मान लीजिए $u = x^{2} + 1$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u = x^{2} + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$x^{2} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 3.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 3.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 3.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 3.1.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 3.2

$x$ के लिए $u = x^{2} + 1$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

चरण 3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = 0 + 1$

चरण 3.3.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 3.4

$x$ के लिए $u = x^{2} + 1$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

चरण 3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{upper} = 1 + 1$

चरण 3.5.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = 2$

चरण 3.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

चरण 3.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 \int_{1}^{2} u^{10} \frac{1}{2} d u$

चरण 4

$u^{10}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$2 \int_{1}^{2} \frac{u^{10}}{2} d u$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u)$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

चरण 6.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

चरण 6.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 \int_{1}^{2} u^{10} d u$

चरण 6.3

$\int_{1}^{2} u^{10} d u$ को $1$ से गुणा करें.

$\int_{1}^{2} u^{10} d u$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{10}$ का समाकलन $\frac{1}{11} u^{11}$ है.

$\frac{1}{11} u^{11}]_{1}^{2}$

चरण 8

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$2$ पर और $1$ पर $\frac{1}{11} u^{11}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{1}{11} \cdot 2^{11}) - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

चरण 8.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$2$ को $11$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{11} \cdot 2048 - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

चरण 8.2.2

$\frac{1}{11}$ और $2048$ को मिलाएं.

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

चरण 8.2.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1$

चरण 8.2.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11}$

चरण 8.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2048 - 1}{11}$

चरण 8.2.6

$2048$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{2047}{11}$

चरण 9

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{2047}{11}$

दशमलव रूप:

$186.\overline{09}$

मिश्रित संख्या रूप:

$186 \frac{1}{11}$

चरण 10