कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{x^{4} - 1} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x^{4} - 1$ .फिर $d u = 4 x^{3} d x$ , तो $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = x^{4} - 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$x^{4} - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{4} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 x^{3} + 0$

चरण 1.1.5

$4 x^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$4 x^{3}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = x^{4} - 1$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 0^{4} - 1$

चरण 1.3

सरल करें.

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चरण 1.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = 0 - 1$

चरण 1.3.2

$0$ में से $1$ घटाएं.

$u_{lower} = - 1$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = x^{4} - 1$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1^{4} - 1$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{upper} = 1 - 1$

चरण 1.5.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$u_{upper} = 0$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

चरण 2

सरल करें.

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चरण 2.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{u \cdot 4} d u$

चरण 2.2

$4$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{4 u} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{0} \frac{1}{u} d u$

चरण 4

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{4} \ln (| u |)]_{- 1}^{0}$

चरण 5

$0$ पर और $- 1$ पर $\ln (| u |)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{4} (\ln (| 0 |) - \ln (| - 1 |))$

चरण 6

सरल करें.

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चरण 6.1

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})$

चरण 6.2

$\frac{1}{4}$ और $\ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})}{4}$

चरण 7

सरल करें.

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चरण 7.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $0$ के बीच की दूरी $0$ है.

$\frac{\ln (\frac{0}{| - 1 |})}{4}$

चरण 7.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $- 1$ और $0$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{\ln (\frac{0}{1})}{4}$

चरण 7.3

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{\ln (0)}{4}$

चरण 7.4

शून्य का प्राकृतिक लघुगणक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{\ln (0)}{4}$

चरण 8

शून्य का प्राकृतिक लघुगणक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित