कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} v^{2} \cos (v^{3}) d v$

चरण 1

मान लीजिए $u = v^{3}$ .फिर $d u = 3 v^{2} d v$ , तो $\frac{1}{3} d u = v^{2} d v$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = v^{3}$ . $\frac{d u}{d v}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$v^{3}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d v} [v^{3}]$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ $n v^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 v^{2}$

चरण 1.2

$v$ के लिए $u = v^{3}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 0^{3}$

चरण 1.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = 0$

चरण 1.4

$v$ के लिए $u = v^{3}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1^{3}$

चरण 1.5

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{upper} = 1$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{1} \cos (u) \frac{1}{3} d u$

चरण 2

$\cos (u)$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{1} \frac{\cos (u)}{3} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{1} \cos (u) d u$

चरण 4

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$\frac{1}{3} \sin (u)]_{0}^{1}$

चरण 5

$1$ पर और $0$ पर $\sin (u)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{3} (\sin (1) - \sin (0))$

चरण 6

सरल करें.

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चरण 6.1

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{1}{3} (\sin (1) - 0)$

चरण 6.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} (\sin (1) + 0)$

चरण 6.3

$\sin (1)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{3} \sin (1)$

चरण 6.4

$\frac{1}{3}$ और $\sin (1)$ को मिलाएं.

$\frac{\sin (1)}{3}$

चरण 7

सरल करें.

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चरण 7.1

$\sin (1)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{0.84147098}{3}$

चरण 7.2

$0.84147098$ को $3$ से विभाजित करें.

$0.28049032$