कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\sqrt{21}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x^{2} + 4$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = x^{2} + 4$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x^{2} + 4$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 1.1.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = x^{2} + 4$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 0^{2} + 4$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = 0 + 4$

चरण 1.3.2

$0$ और $4$ जोड़ें.

$u_{lower} = 4$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = x^{2} + 4$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = {\sqrt{21}}^{2} + 4$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

${\sqrt{21}}^{2}$ को $21$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

$\sqrt{21}$ को $21^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$u_{upper} = {(21^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4$

चरण 1.5.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 21^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4$

चरण 1.5.1.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$u_{upper} = 21^{\frac{2}{2}} + 4$

चरण 1.5.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = 21^{\frac{2}{2}} + 4$

चरण 1.5.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = 21^{1} + 4$

चरण 1.5.1.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$u_{upper} = 21 + 4$

चरण 1.5.2

$21$ और $4$ जोड़ें.

$u_{upper} = 25$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 25$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{4}^{25} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int_{4}^{25} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

चरण 2.2

$2$ को $\sqrt{u}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int_{4}^{25} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{25} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 4

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{25} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

चरण 4.2

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{25} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 4.3

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{25} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 4.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{25} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

चरण 4.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{25} u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$\frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{25}$

चरण 6

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$25$ पर और $4$ पर $2 u^{\frac{1}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} ((2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$25$ को $5^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 5^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.4

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 5 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.5

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.6

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.7

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

चरण 6.2.8

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.8.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

चरण 6.2.8.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot 2^{1})$

चरण 6.2.9

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot 2)$

चरण 6.2.10

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (10 - 4)$

चरण 6.2.11

$10$ में से $4$ घटाएं.

$\frac{1}{2} \cdot 6$

चरण 6.2.12

$\frac{1}{2}$ और $6$ को मिलाएं.

$\frac{6}{2}$

चरण 6.2.13

$6$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.13.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 3}{2}$

चरण 6.2.13.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.13.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

चरण 6.2.13.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

चरण 6.2.13.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3}{1}$

चरण 6.2.13.2.4

$3$ को $1$ से विभाजित करें.

$3$

चरण 7