कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (3 t) d t$

चरण 1

मान लीजिए $u = 3 t$ .फिर $d u = 3 d t$ , तो $\frac{1}{3} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = 3 t$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$3 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [3 t]$

चरण 1.1.2

चूंकि $3$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $3 t$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$3 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1$

चरण 1.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$

चरण 1.2

$t$ के लिए $u = 3 t$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

चरण 1.3

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 1.4

$t$ के लिए $u = 3 t$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3}$

चरण 1.5

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

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चरण 1.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3}$

चरण 1.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = π$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{3} d u$

चरण 2

$\sin (u)$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{3} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

चरण 4

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का इंटीग्रल $- \cos (u)$ है.

$\frac{1}{3} - \cos (u)]_{0}^{π}$

चरण 5

$π$ पर और $0$ पर $- \cos (u)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{3} (- \cos (π) + \cos (0))$

चरण 6

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{1}{3} (- \cos (π) + 1)$

चरण 7

सरल करें.

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चरण 7.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$\frac{1}{3} (- - \cos (0) + 1)$

चरण 7.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{1}{3} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

चरण 7.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} (- - 1 + 1)$

चरण 7.4

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} (1 + 1)$

चरण 7.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{3} \cdot 2$

चरण 7.6

$\frac{1}{3}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{2}{3}$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{2}{3}$

दशमलव रूप:

$0.\overline{6}$