कैलकुलस उदाहरण

$\int x {(3 x + 8)}^{11} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 3 x + 8$ .फिर $d u = 3 d x$ , तो $\frac{1}{3} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = 3 x + 8$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$3 x + 8$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x + 8]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x + 8$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$ है.

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

चरण 1.1.3.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3 + \frac{d}{d x} [8]$

चरण 1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $8$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 + 0$

चरण 1.1.4.2

$3$ और $0$ जोड़ें.

$3$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int (\frac{u}{3} - \frac{8}{3}) u^{11} \frac{1}{3} d u$

चरण 2

$\frac{1}{3}$ और $u^{11}$ को मिलाएं.

$\int (\frac{u}{3} - \frac{8}{3}) \frac{u^{11}}{3} d u$

चरण 3

सरल करें.

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चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int \frac{u}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

चरण 3.2

$\frac{u}{3}$ को $\frac{u^{11}}{3}$ से गुणा करें.

$\int \frac{u \cdot u^{11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

चरण 3.3

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{u^{1} u^{11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

चरण 3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int \frac{u^{1 + 11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

चरण 3.5

$1$ और $11$ जोड़ें.

$\int \frac{u^{12}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

चरण 3.6

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

चरण 3.7

$- \frac{8}{3}$ और $\frac{u^{11}}{3}$ को मिलाएं.

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8 u^{11}}{3 \cdot 3} d u$

चरण 3.8

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

चरण 4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \frac{u^{12}}{9} d u + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{9}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{9}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{9} \int u^{12} d u + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

चरण 6

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{12}$ का समाकलन $\frac{1}{13} u^{13}$ है.

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

चरण 7

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - \int \frac{8 u^{11}}{9} d u$

चरण 8

चूँकि $\frac{8}{9}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{8}{9}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - (\frac{8}{9} \int u^{11} d u)$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{11}$ का समाकलन $\frac{1}{12} u^{12}$ है.

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - \frac{8}{9} (\frac{1}{12} u^{12} + C)$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

सरल करें.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{13} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

चरण 10.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$\frac{1}{9}$ को $\frac{1}{13}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{9 \cdot 13} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

चरण 10.2.2

$9$ को $13$ से गुणा करें.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

चरण 10.2.3

$\frac{1}{12}$ को $\frac{8}{9}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{12 \cdot 9} u^{12} + C$

चरण 10.2.4

$12$ को $9$ से गुणा करें.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{108} u^{12} + C$

चरण 10.2.5

$8$ और $108$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.5.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 (2)}{108} u^{12} + C$

चरण 10.2.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.5.2.1

$108$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 27} u^{12} + C$

चरण 10.2.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 27} u^{12} + C$

चरण 10.2.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{2}{27} u^{12} + C$

चरण 11

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x + 8$ से बदलें.

$\frac{1}{117} {(3 x + 8)}^{13} - \frac{2}{27} {(3 x + 8)}^{12} + C$