कैलकुलस उदाहरण

$\int x \arctan (7 x) d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \arctan (7 x)$ और $d v = x$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\arctan (7 x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\arctan (7 x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x$

चरण 2.2

$\arctan (7 x)$ और $\frac{x^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x)$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x^{2}$ और $\frac{7}{49 x^{2} + 1}$ को मिलाएं.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2} \cdot 7}{49 x^{2} + 1} d x)$

चरण 4.2

$7$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{7 x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

चरण 5

चूँकि $7$ बटे $x$ अचर है, $7$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (7 \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x)$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$7$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - 7 (\frac{1}{2}) \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

चरण 6.2

$- 7$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} + \frac{- 7}{2} \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

चरण 6.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

चरण 7

$x^{2}$ को $49 x^{2} + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$49 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

चरण 7.2

भाज्य $x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $49 x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

							$\frac{1}{49}$
	$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

चरण 7.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

						$\frac{1}{49}$
$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$\frac{1}{49}$

चरण 7.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{2} + 0 + \frac{1}{49}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

						$\frac{1}{49}$
$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$\frac{1}{49}$

चरण 7.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

						$\frac{1}{49}$
$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$\frac{1}{49}$
									-	$\frac{1}{49}$

चरण 7.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} \int \frac{1}{49} - \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x$

चरण 8

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\int \frac{1}{49} d x + \int - \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x)$

चरण 9

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C + \int - \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x)$

चरण 10

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \int \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x)$

चरण 11

चूँकि $\frac{1}{49}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{49}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - (\frac{1}{49} \int \frac{1}{49 x^{2} + 1} d x))$

चरण 12

$49 x^{2}$ और $1$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{1 + 49 x^{2}} d x)$

चरण 13

$1 + 49 x^{2}$ में से $49$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$1$ में से $49$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{49 (\frac{1}{49}) + 49 x^{2}} d x)$

चरण 13.2

$49 x^{2}$ में से $49$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{49 (\frac{1}{49}) + 49 (x^{2})} d x)$

चरण 13.3

$49 (\frac{1}{49}) + 49 (x^{2})$ में से $49$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{49 (\frac{1}{49} + x^{2})} d x)$

चरण 14

चूँकि $\frac{1}{49}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{49}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} (\frac{1}{49} \int \frac{1}{\frac{1}{49} + x^{2}} d x))$

चरण 15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$\frac{1}{49}$ को $\frac{1}{49}$ से गुणा करें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49 \cdot 49} \int \frac{1}{\frac{1}{49} + x^{2}} d x)$

चरण 15.2

$49$ को $49$ से गुणा करें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} \int \frac{1}{\frac{1}{49} + x^{2}} d x)$

चरण 16

$\frac{1}{49}$ को ${(\frac{1}{7})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} \int \frac{1}{{(\frac{1}{7})}^{2} + x^{2}} d x)$

चरण 17

$x$ के संबंध में $\frac{1}{{(\frac{1}{7})}^{2} + x^{2}}$ का इंटीग्रल $\frac{1}{\frac{1}{7}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C$ है.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (\frac{1}{\frac{1}{7}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C))$

चरण 18

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1.1

$\frac{1}{7}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (1 \cdot 7 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C))$

चरण 18.1.2

$7$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (7 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C))$

चरण 18.1.3

$\frac{1}{7}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (7 \arctan (x \cdot 7) + C))$

चरण 18.1.4

$7$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (7 \arctan (7 x) + C))$

चरण 18.2

सरल करें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) + C$

चरण 18.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.3.1

$- \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) \cdot \frac{2}{2} + C$

चरण 18.3.2

$- \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} + \frac{- \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) \cdot 2}{2} + C$

चरण 18.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) \cdot 2}{2} + C$

चरण 18.3.4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - 2 (\frac{7}{2}) (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

चरण 18.3.5

$- 2$ और $\frac{7}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{- 2 \cdot 7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

चरण 18.3.6

$- 2$ को $7$ से गुणा करें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{- 14}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

चरण 18.3.7

$- 14$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.3.7.1

$- 14$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

चरण 18.3.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.3.7.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2 (1)} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

चरण 18.3.7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

चरण 18.3.7.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{- 7}{1} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

चरण 18.3.7.2.4

$- 7$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - 7 (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

चरण 18.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - 7 \frac{x}{49} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

चरण 18.4.2

$7$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.4.2.1

$- 7$ में से $7$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + 7 (- 1) \frac{x}{49} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

चरण 18.4.2.2

$49$ में से $7$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + 7 \cdot - 1 \frac{x}{7 \cdot 7} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

चरण 18.4.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + 7 \cdot - 1 \frac{x}{7 \cdot 7} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

चरण 18.4.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

चरण 18.4.3

$7$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.4.3.1

$- \frac{\arctan (7 x)}{343}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - 7 \frac{- \arctan (7 x)}{343}}{2} + C$

चरण 18.4.3.2

$- 7$ में से $7$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 7 (- 1) \frac{- \arctan (7 x)}{343}}{2} + C$

चरण 18.4.3.3

$343$ में से $7$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 7 \cdot - 1 \frac{- \arctan (7 x)}{7 \cdot 49}}{2} + C$

चरण 18.4.3.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 7 \cdot - 1 \frac{- \arctan (7 x)}{7 \cdot 49}}{2} + C$

चरण 18.4.3.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - \frac{- \arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

चरण 18.4.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.4.4.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - - \frac{\arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

चरण 18.4.4.2

$- - \frac{\arctan (7 x)}{49}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.4.4.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 1 \frac{\arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

चरण 18.4.4.2.2

$\frac{\arctan (7 x)}{49}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + \frac{\arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

चरण 19

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} (\arctan (7 x) x^{2} - \frac{1}{7} x + \frac{1}{49} \arctan (7 x)) + C$