कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = e^{- x} \ln (x)$ , $(1, 0)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 1$ और $y = 0$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = e^{- x}$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$e^{- x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 1.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$e^{- x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 1.3

$e^{- x}$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 1.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 1.4.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 1.4.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 1.5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 1.5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

चरण 1.5.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} \cdot - 1)$

चरण 1.5.3.2

$- 1$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (- 1 \cdot e^{- x})$

चरण 1.5.3.3

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (- e^{- x})$

चरण 1.5.3.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- e^{- x} \ln (x) + \frac{e^{- x}}{x}$

चरण 1.6

$x = 1$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$- e^{- (1)} \ln (1) + \frac{e^{- (1)}}{1}$

चरण 1.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- e^{- (1)} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

चरण 1.7.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.2.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- e^{- 1} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

चरण 1.7.2.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{e} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

चरण 1.7.2.3

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$- \frac{1}{e} \cdot 0 + \frac{e^{- 1}}{1}$

चरण 1.7.2.4

$- \frac{1}{e} \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.2.4.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 \frac{1}{e} + \frac{e^{- 1}}{1}$

चरण 1.7.2.4.2

$0$ को $\frac{1}{e}$ से गुणा करें.

$0 + \frac{e^{- 1}}{1}$

चरण 1.7.2.5

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $e^{- 1}$ को भाजक में ले जाएँ.

$0 + \frac{1}{e}$

चरण 1.7.3

$0$ और $\frac{1}{e}$ जोड़ें.

$\frac{1}{e}$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $\frac{1}{e}$ और दिए गए बिंदु $(1, 0)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (0) = \frac{1}{e} \cdot (x - (1))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y + 0 = \frac{1}{e} \cdot (x - 1)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$y$ और $0$ जोड़ें.

$y = \frac{1}{e} \cdot (x - 1)$

चरण 2.3.2

$\frac{1}{e} \cdot (x - 1)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{1}{e} x + \frac{1}{e} \cdot - 1$

चरण 2.3.2.2

$\frac{1}{e}$ और $x$ को मिलाएं.

$y = \frac{x}{e} + \frac{1}{e} \cdot - 1$

चरण 2.3.2.3

$\frac{1}{e}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$y = \frac{x}{e} + \frac{- 1}{e}$

चरण 2.3.2.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = \frac{x}{e} - \frac{1}{e}$

चरण 2.3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = \frac{1}{e} x - \frac{1}{e}$

चरण 3