कैलकुलस उदाहरण

$\int t \sin^{2} (t) d t$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = t$ और $d v = \sin^{2} (t)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - \int \frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t) d t$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\int \frac{1}{2} t d t + \int - \frac{1}{4} \sin (2 t) d t)$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} \int t d t + \int - \frac{1}{4} \sin (2 t) d t)$

चरण 4

घात नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t$ का समाकलन $\frac{1}{2} t^{2}$ है.

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \int - \frac{1}{4} \sin (2 t) d t)$

चरण 5

चूँकि $- \frac{1}{4}$ बटे $t$ अचर है, $- \frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} \int \sin (2 t) d t)$

चरण 6

मान लीजिए $u = 2 t$ .फिर $d u = 2 d t$ , तो $\frac{1}{2} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लें $u = 2 t$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$2 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

चरण 6.1.2

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 6.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 6.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 6.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u)$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{1}{2}$ और $t$ को मिलाएं.

$t (\frac{t}{2} - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

चरण 8.2

$\sin (2 t)$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$t (\frac{t}{2} - \frac{\sin (2 t)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

चरण 9

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का इंटीग्रल $- \cos (u)$ है.

$t (\frac{t}{2} - \frac{\sin (2 t)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} (- \cos (u) + C)))$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$t (\frac{t}{2} - \frac{\sin (2 t)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{2 \cdot 4} (- \cos (u) + C))$

चरण 10.1.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$t (\frac{t}{2} - \frac{\sin (2 t)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{8} (- \cos (u) + C))$

चरण 10.1.3

$\frac{1}{2}$ और $t^{2}$ को मिलाएं.

$t (\frac{t}{2} - \frac{\sin (2 t)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{t^{2}}{2} + C) - \frac{1}{8} (- \cos (u) + C))$

चरण 10.2

सरल करें.

$\frac{t^{2}}{2} - t \frac{\sin (2 t)}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{2}}{2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

चरण 10.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

$\frac{\sin (2 t)}{4}$ और $t$ को मिलाएं.

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{2}}{2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

चरण 10.3.2

$\frac{1}{2}$ को $\frac{t^{2}}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

चरण 10.3.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{4} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

चरण 10.3.4

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{4} + 1 (\frac{1}{8}) \cos (u)) + C$

चरण 10.3.5

$\frac{1}{8}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{1}{8} \cos (u)) + C$

चरण 10.3.6

$\frac{1}{8}$ और $\cos (u)$ को मिलाएं.

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) + C$

चरण 10.3.7

$- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot \frac{4}{4} + C$

चरण 10.3.8

$- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} + \frac{- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot 4}{4} + C$

चरण 10.3.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot 4}{4} + C$

चरण 10.3.10

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - 4 (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})}{4} + C$

चरण 11

$u$ की सभी घटनाओं को $2 t$ से बदलें.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - 4 (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (2 t)}{8})}{4} + C$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - 4 \frac{t^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 t)}{8}}{4} + C$

चरण 12.2

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t + 4 (- 1) \frac{t^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 t)}{8}}{4} + C$

चरण 12.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t + 4 \cdot - 1 \frac{t^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 t)}{8}}{4} + C$

चरण 12.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - t^{2} - 4 \frac{\cos (2 t)}{8}}{4} + C$

चरण 12.3

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - t^{2} + 4 (- 1) \frac{\cos (2 t)}{8}}{4} + C$

चरण 12.3.2

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - t^{2} + 4 \cdot - 1 \frac{\cos (2 t)}{4 \cdot 2}}{4} + C$

चरण 12.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - t^{2} + 4 \cdot - 1 \frac{\cos (2 t)}{4 \cdot 2}}{4} + C$

चरण 12.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - t^{2} - \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$- \sin (2 t) t$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 t) t) - t^{2} - \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

चरण 13.2

$- t^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 t) t) - (t^{2}) - \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

चरण 13.3

$- (\sin (2 t) t) - (t^{2})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 t) t + t^{2}) - \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

चरण 13.4

$- \frac{\cos (2 t)}{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 t) t + t^{2}) - (\frac{\cos (2 t)}{2})}{4} + C$

चरण 13.5

$- (\sin (2 t) t + t^{2}) - (\frac{\cos (2 t)}{2})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2})}{4} + C$

चरण 13.6

$- (\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2})$ को $- 1 (\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- 1 (\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2})}{4} + C$

चरण 13.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

चरण 13.8

गुणनखंडों को $- \frac{\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2}}{4}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{t \sin (2 t) + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

चरण 13.9

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} t^{2} - \frac{1}{4} (t \sin (2 t) + t^{2} + \frac{1}{2} \cos (2 t)) + C$