कैलकुलस उदाहरण

$\int_{a}^{b} 5 e^{2 t} d t$

चरण 1

चूँकि $5$ बटे $t$ अचर है, $5$ को समाकलन से हटा दें.

$5 \int_{a}^{b} e^{2 t} d t$

चरण 2

मान लीजिए $u = 2 t$ .फिर $d u = 2 d t$ , तो $\frac{1}{2} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 2.1

मान लें $u = 2 t$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

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चरण 2.1.1

$2 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

चरण 2.1.2

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 2.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 2.2

$t$ के लिए $u = 2 t$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 a$

चरण 2.3

$t$ के लिए $u = 2 t$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2 b$

चरण 2.4

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 2 a$

$u_{upper} = 2 b$

चरण 2.5

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$5 \int_{2 a}^{2 b} e^{u} \frac{1}{2} d u$

चरण 3

$e^{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$5 \int_{2 a}^{2 b} \frac{e^{u}}{2} d u$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$5 (\frac{1}{2} \int_{2 a}^{2 b} e^{u} d u)$

चरण 5

$\frac{1}{2}$ और $5$ को मिलाएं.

$\frac{5}{2} \int_{2 a}^{2 b} e^{u} d u$

चरण 6

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$\frac{5}{2} e^{u}]_{2 a}^{2 b}$

चरण 7

$2 b$ पर और $2 a$ पर $e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{5}{2} (e^{2 b} - e^{2 a})$