कैलकुलस उदाहरण

$π \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

चरण 1

$\sin^{2} (x)$ को $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$π \int_{0}^{π} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

चरण 2

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$π (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 x) d x)$

चरण 3

$\frac{1}{2}$ और $π$ को मिलाएं.

$\frac{π}{2} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 x) d x$

चरण 4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{π}{2} (\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

चरण 5

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

चरण 6

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

चरण 7

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 7.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 7.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 7.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 7.2

$x$ के लिए $u = 2 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

चरण 7.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 7.4

$x$ के लिए $u = 2 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2 π$

चरण 7.5

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

चरण 7.6

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

चरण 8

$\cos (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

चरण 9

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u))$

चरण 10

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

चरण 11

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$π$ पर और $0$ पर $x$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{π}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

चरण 11.2

$2 π$ पर और $0$ पर $\sin (u)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{π}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0)))$

चरण 11.3

$π$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0)))$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0))$

चरण 12.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0))$

चरण 12.3

$\sin (2 π)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} \sin (2 π))$

चरण 12.4

$\sin (2 π)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{π}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$\frac{π}{2} (π - \frac{\sin (0)}{2})$

चरण 13.1.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{π}{2} (π - \frac{0}{2})$

चरण 13.2

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{π}{2} (π - 0)$

चरण 13.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{π}{2} (π + 0)$

चरण 13.4

$π$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{π}{2} π$

चरण 13.5

$\frac{π}{2} π$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.5.1

$\frac{π}{2}$ और $π$ को मिलाएं.

$\frac{π π}{2}$

चरण 13.5.2

$π$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{π^{1} π}{2}$

चरण 13.5.3

$π$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{π^{1} π^{1}}{2}$

चरण 13.5.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{π^{1 + 1}}{2}$

चरण 13.5.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{π^{2}}{2}$

चरण 14

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{π^{2}}{2}$

दशमलव रूप:

$4.93480220 \dots$