कैलकुलस उदाहरण

$\int_{4}^{7} \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1} d t$

चरण 1

मान लीजिए $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ .फिर $d u = 2 d t$ , तो $\frac{1}{2} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}]$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}]$ को $\frac{d}{d t} [2 t + 1]$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.1

$4 t^{2}$ को ${(2 t)}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 4 t + 1}]$

चरण 1.1.2.1.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 4 t + 1^{2}}]$

चरण 1.1.2.1.3

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$4 t = 2 \cdot (2 t) \cdot 1$

चरण 1.1.2.1.4

बहुपद को फिर से लिखें.

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 2 \cdot (2 t) \cdot 1 + 1^{2}}]$

चरण 1.1.2.1.5

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = 2 t$ और $b = 1$ है.

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t + 1)}^{2}}]$

चरण 1.1.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\frac{d}{d t} [2 t + 1]$

चरण 1.1.3

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $2 t + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ है.

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$

चरण 1.1.4

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

चरण 1.1.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]$

चरण 1.1.6

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d t} [1]$

चरण 1.1.7

चूंकि $t$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + 0$

चरण 1.1.8

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 1.2

$t$ के लिए $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \sqrt{4 \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 + 1}$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

घातांक जोड़कर $4$ को $4^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

$4$ को $4^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1.1

$4$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{lower} = \sqrt{4^{1} \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 + 1}$

चरण 1.3.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$u_{lower} = \sqrt{4^{1 + 2} + 4 \cdot 4 + 1}$

चरण 1.3.1.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$u_{lower} = \sqrt{4^{3} + 4 \cdot 4 + 1}$

चरण 1.3.2

$4$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{lower} = \sqrt{64 + 4 \cdot 4 + 1}$

चरण 1.3.3

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$u_{lower} = \sqrt{64 + 16 + 1}$

चरण 1.3.4

$64$ और $16$ जोड़ें.

$u_{lower} = \sqrt{80 + 1}$

चरण 1.3.5

$80$ और $1$ जोड़ें.

$u_{lower} = \sqrt{81}$

चरण 1.3.6

$81$ को $9^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$u_{lower} = \sqrt{9^{2}}$

चरण 1.3.7

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$u_{lower} = 9$

चरण 1.4

$t$ के लिए $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \sqrt{4 \cdot 7^{2} + 4 \cdot 7 + 1}$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$7$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{upper} = \sqrt{4 \cdot 49 + 4 \cdot 7 + 1}$

चरण 1.5.2

$4$ को $49$ से गुणा करें.

$u_{upper} = \sqrt{196 + 4 \cdot 7 + 1}$

चरण 1.5.3

$4$ को $7$ से गुणा करें.

$u_{upper} = \sqrt{196 + 28 + 1}$

चरण 1.5.4

$196$ और $28$ जोड़ें.

$u_{upper} = \sqrt{224 + 1}$

चरण 1.5.5

$224$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = \sqrt{225}$

चरण 1.5.6

$225$ को $15^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$u_{upper} = \sqrt{15^{2}}$

चरण 1.5.7

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$u_{upper} = 15$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 15$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{9}^{15} u \frac{1}{2} d u$

चरण 2

$u$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int_{9}^{15} \frac{u}{2} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int_{9}^{15} u d u$

चरण 4

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u$ का समाकलन $\frac{1}{2} u^{2}$ है.

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} u^{2}]_{9}^{15}$

चरण 5

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$15$ पर और $9$ पर $\frac{1}{2} u^{2}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 15^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$15$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 225 - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

चरण 5.2.2

$\frac{1}{2}$ और $225$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

चरण 5.2.3

$9$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{1}{2} \cdot 81)$

चरण 5.2.4

$81$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - 81 (\frac{1}{2}))$

चरण 5.2.5

$- 81$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} + \frac{- 81}{2})$

चरण 5.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{81}{2})$

चरण 5.2.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{225 - 81}{2}$

चरण 5.2.8

$225$ में से $81$ घटाएं.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{144}{2}$

चरण 5.2.9

$144$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.9.1

$144$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2}$

चरण 5.2.9.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.9.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2 (1)}$

चरण 5.2.9.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2 \cdot 1}$

चरण 5.2.9.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{72}{1}$

चरण 5.2.9.2.4

$72$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{2} \cdot 72$

चरण 5.2.10

$\frac{1}{2}$ और $72$ को मिलाएं.

$\frac{72}{2}$

चरण 5.2.11

$72$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.11.1

$72$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 36}{2}$

चरण 5.2.11.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.11.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 36}{2 (1)}$

चरण 5.2.11.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 36}{2 \cdot 1}$

चरण 5.2.11.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{36}{1}$

चरण 5.2.11.2.4

$36$ को $1$ से विभाजित करें.

$36$

चरण 6