कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{1}{8}} \frac{\arcsin (4 x)}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{2} = \arcsin (4 x)$ .फिर $d u_{2} = \frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$ , तो $- d u_{2} = \frac{- 4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{2} = \arcsin (4 x)$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\arcsin (4 x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\arcsin (4 x)]$

चरण 1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \arcsin (x)$ और $g (x) = 4 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $4 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

चरण 1.1.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\arcsin (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ है.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

चरण 1.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $4 x$ से बदलें.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

चरण 1.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

$4 x$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

चरण 1.1.3.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.1

उत्पाद नियम को $4 (x)$ पर लागू करें.

$\frac{1}{\sqrt{1 - (4^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [4 x]$

चरण 1.1.3.2.2

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{\sqrt{1 - (16 x^{2})}} \frac{d}{d x} [4 x]$

चरण 1.1.3.2.3

$16$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

चरण 1.1.3.3

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.1.3.4

$4$ और $\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \cdot 1$

चरण 1.1.3.6

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u_{2} = \arcsin (4 x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \arcsin (4 \cdot 0)$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$4$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = \arcsin (0)$

चरण 1.3.2

$\arcsin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$u_{lower} = 0$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u_{2} = \arcsin (4 x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \arcsin (4 (\frac{1}{8}))$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = \arcsin (4 \frac{1}{4 (2)})$

चरण 1.5.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = \arcsin (4 \frac{1}{4 \cdot 2})$

चरण 1.5.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \arcsin (\frac{1}{2})$

चरण 1.5.2

$\arcsin (\frac{1}{2})$ का सटीक मान $\frac{π}{6}$ है.

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

चरण 1.7

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1}{4} u_{2} d u_{2}$

चरण 2

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{6}} u_{2} d u_{2}$

चरण 3

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में $u_{2}$ का समाकलन $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ है.

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{\frac{π}{6}}$

चरण 4

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{π}{6}$ पर और $0$ पर $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

चरण 4.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

चरण 4.2.2

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

चरण 4.2.3

$0$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + 0)$

चरण 4.2.4

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2})$

चरण 4.2.5

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 \cdot 4} {(\frac{π}{6})}^{2}$

चरण 4.2.6

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{1}{8} {(\frac{π}{6})}^{2}$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

उत्पाद नियम को $\frac{π}{6}$ पर लागू करें.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{π^{2}}{6^{2}}$

चरण 5.2

जोड़ना.

$\frac{1 π^{2}}{8 \cdot 6^{2}}$

चरण 5.3

$π^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{π^{2}}{8 \cdot 6^{2}}$

चरण 5.4

$6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{π^{2}}{8 \cdot 36}$

चरण 5.5

$8$ को $36$ से गुणा करें.

$\frac{π^{2}}{288}$

चरण 6

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{π^{2}}{288}$

दशमलव रूप:

$0.03426945 \dots$