कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \cos (π x) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = π x$ .फिर $d u = π d x$ , तो $\frac{1}{π} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = π x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$π x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [π x]$

चरण 1.1.2

चूंकि $π$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $π x$ का व्युत्पन्न $π \frac{d}{d x} [x]$ है.

$π \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$π \cdot 1$

चरण 1.1.4

$π$ को $1$ से गुणा करें.

$π$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = π x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = π \cdot 0$

चरण 1.3

$π$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = π x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = π \frac{1}{2}$

चरण 1.5

$π$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{π} d u$

चरण 2

$\cos (u)$ और $\frac{1}{π}$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{π} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{π}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{π}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

चरण 4

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$\frac{1}{π} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

चरण 5

$\frac{π}{2}$ पर और $0$ पर $\sin (u)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{π} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{1}{π} (1 - \sin (0))$

चरण 6.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{1}{π} (1 - 0)$

चरण 6.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{1}{π} (1 + 0)$

चरण 6.4

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{π} \cdot 1$

चरण 6.5

$\frac{1}{π}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{π}$

चरण 7

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{1}{π}$

दशमलव रूप:

$0.31830988 \dots$