कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} 1 - \cos (2 x) d x$

चरण 1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} d x + \int_{0}^{\frac{π}{12}} - \cos (2 x) d x$

चरण 2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} + \int_{0}^{\frac{π}{12}} - \cos (2 x) d x$

चरण 3

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \int_{0}^{\frac{π}{12}} \cos (2 x) d x$

चरण 4

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 4.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 4.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 4.2

$x$ के लिए $u = 2 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

चरण 4.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 4.4

$x$ के लिए $u = 2 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{12}$

चरण 4.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$12$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (6)}$

चरण 4.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 6}$

चरण 4.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

चरण 4.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

चरण 4.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

चरण 5

$\cos (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\cos (u)}{2} d u$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (u) d u)$

चरण 7

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

चरण 8

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{π}{12}$ पर और $0$ पर $x$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{π}{12}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

चरण 8.2

$\frac{π}{6}$ पर और $0$ पर $\sin (u)$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{π}{12}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{6})) - \sin (0))$

चरण 8.3

$\frac{π}{12}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{6}) - \sin (0))$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\sin (\frac{π}{6})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \sin (0))$

चरण 9.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - 0)$

चरण 9.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0)$

चरण 9.4

$\frac{1}{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 9.5

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2 \cdot 2}$

चरण 9.6

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{π}{12} - \frac{1}{4}$

चरण 10

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{π}{12} - \frac{1}{4}$

दशमलव रूप:

$0.01179938 \dots$