कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{r}{4 + r^{2}} d r$

चरण 1

मान लीजिए $u = 4 + r^{2}$ .फिर $d u = 2 r d r$ , तो $\frac{1}{2} d u = r d r$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = 4 + r^{2}$ . $\frac{d u}{d r}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$4 + r^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d r} [4 + r^{2}]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $r$ के संबंध में $4 + r^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ है.

$\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

चरण 1.1.3

चूंकि $r$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $r$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

चरण 1.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ $n r^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 + 2 r$

चरण 1.1.5

$0$ और $2 r$ जोड़ें.

$2 r$

चरण 1.2

$r$ के लिए $u = 4 + r^{2}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 4 + 0^{2}$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = 4 + 0$

चरण 1.3.2

$4$ और $0$ जोड़ें.

$u_{lower} = 4$

चरण 1.4

$r$ के लिए $u = 4 + r^{2}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 4 + {(\frac{π}{2})}^{2}$

चरण 1.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

उत्पाद नियम को $\frac{π}{2}$ पर लागू करें.

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{2^{2}}$

चरण 1.5.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{4}$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{4}$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

चरण 2.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{2 u} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u} d u$

चरण 4

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}}$

चरण 5

$4 + \frac{π^{2}}{4}$ पर और $4$ पर $\ln (| u |)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} (\ln (| 4 + \frac{π^{2}}{4} |) - \ln (| 4 |))$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})$

चरण 6.2

$\frac{1}{2}$ और $\ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})}{2}$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$4 + \frac{π^{2}}{4}$ लगभग $6.4674011$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\frac{\ln (\frac{4 + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

चरण 7.1.2

$4$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

चरण 7.1.3

$4$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (\frac{\frac{4 \cdot 4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

चरण 7.1.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\ln (\frac{\frac{4 \cdot 4 + π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

चरण 7.1.5

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{\ln (\frac{\frac{16 + π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

चरण 7.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $4$ के बीच की दूरी $4$ है.

$\frac{\ln (\frac{\frac{16 + π^{2}}{4}}{4})}{2}$

चरण 7.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{4})}{2}$

चरण 7.4

$\frac{16 + π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

$\frac{16 + π^{2}}{4}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{4 \cdot 4})}{2}$

चरण 7.4.2

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{16})}{2}$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{16})}{2}$

दशमलव रूप:

$0.24023999 \dots$

चरण 9