कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (t)}{\sqrt{1 + \sin^{2} (t)}} d t$

चरण 1

मान लीजिए $u = \sin (t)$ .फिर $d u = \cos (t) d t$ , तो $\frac{1}{\cos (t)} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = \sin (t)$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\sin (t)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [\sin (t)]$

चरण 1.1.2

$t$ के संबंध में $\sin (t)$ का व्युत्पन्न $\cos (t)$ है.

$\cos (t)$

चरण 1.2

$t$ के लिए $u = \sin (t)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \sin (0)$

चरण 1.3

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$u_{lower} = 0$

चरण 1.4

$t$ के लिए $u = \sin (t)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

चरण 1.5

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{upper} = 1$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u$

चरण 2

मान लीजिए $u = \tan (t_{1})$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d u = \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ से, $\sec^{2} (t_{1})$ सकारात्मक है.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (t_{1})}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

चरण 3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\sqrt{1 + \tan^{2} (t_{1})}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

पदों को पुनर्व्यवस्थित करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t_{1}) + 1}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

चरण 3.1.2

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t_{1})}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

चरण 3.1.3

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

चरण 3.2

$\sec (t_{1})$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\sec^{2} (t_{1})$ में से $\sec (t_{1})$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

चरण 3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

चरण 3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (t_{1}) d t_{1}$

चरण 4

$t_{1}$ के संबंध में $\sec (t_{1})$ का इंटीग्रल $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ है.

$\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

चरण 5

$\frac{π}{4}$ पर और $0$ पर $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ का मान ज्ञात करें.

$\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\sec (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{2}{\sqrt{2}}$ है.

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

चरण 6.2

$\tan (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $1$ है.

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

चरण 6.3

$\sec (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

चरण 6.4

$\tan (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |)$

चरण 6.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 |)$

चरण 6.6

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

चरण 7.1.1.2

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1.2.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

चरण 7.1.1.2.2

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

चरण 7.1.1.2.3

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

चरण 7.1.1.2.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + 1 |}{| 1 |})$

चरण 7.1.1.2.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

चरण 7.1.1.2.6

${\sqrt{2}}^{2}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1.2.6.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

चरण 7.1.1.2.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 1 |}{| 1 |})$

चरण 7.1.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

चरण 7.1.1.2.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1.2.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

चरण 7.1.1.2.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

चरण 7.1.1.2.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

चरण 7.1.1.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

चरण 7.1.1.3.2

$\sqrt{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| 1 |})$

चरण 7.1.2

$\sqrt{2} + 1$ लगभग $2.41421356$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| 1 |})$

चरण 7.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{1})$

चरण 7.3

$\sqrt{2} + 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

दशमलव रूप:

$0.88137358 \dots$