कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin (x^{2}) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x^{2}$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = x^{2}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 0^{2}$

चरण 1.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = 0$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = x^{2}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = {(\frac{π}{2})}^{2}$

चरण 1.5

सरल करें.

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चरण 1.5.1

उत्पाद नियम को $\frac{π}{2}$ पर लागू करें.

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{2^{2}}$

चरण 1.5.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{4}$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{4}$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

चरण 2

$\sin (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (u) d u$

चरण 4

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का इंटीग्रल $- \cos (u)$ है.

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π^{2}}{4}}$

चरण 5

$\frac{π^{2}}{4}$ पर और $0$ पर $- \cos (u)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π^{2}}{4}) + \cos (0))$

चरण 6

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π^{2}}{4}) + 1)$

चरण 7

सरल करें.

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चरण 7.1

$\cos (\frac{π^{2}}{4})$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} (- - 0.78121189 + 1)$

चरण 7.2

$- 1$ को $- 0.78121189$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (0.78121189 + 1)$

चरण 7.3

$0.78121189$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} \cdot 1.78121189$

चरण 7.4

$\frac{1}{2}$ और $1.78121189$ को मिलाएं.

$\frac{1.78121189}{2}$

चरण 7.5

$1.78121189$ को $2$ से विभाजित करें.

$0.89060594$