कैलकुलस उदाहरण

$\int x^{3} \sin (x^{2}) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x^{2}$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int u \sin (u) \frac{1}{2} d u$

चरण 2

सरल करें.

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चरण 2.1

$\frac{1}{2}$ और $u$ को मिलाएं.

$\int \frac{u}{2} \sin (u) d u$

चरण 2.2

$\frac{u}{2}$ और $\sin (u)$ को मिलाएं.

$\int \frac{u \sin (u)}{2} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int u \sin (u) d u$

चरण 4

$\int w d v = w v - \int v d w$ , जहां $w = u$ और $dv = \sin (u)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

चरण 5

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

चरण 6

सरल करें.

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चरण 6.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

चरण 6.2

$\int \cos (u) d u$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

चरण 7

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

चरण 8

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ को $\frac{1}{2} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

चरण 9

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (- x^{2} \cos (x^{2}) + \sin (x^{2})) + C$

चरण 10

सरल करें.

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चरण 10.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} (- x^{2} \cos (x^{2})) + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

चरण 10.2

$\frac{1}{2} (- x^{2} \cos (x^{2}))$ गुणा करें.

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चरण 10.2.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{x^{2}}{2} \cos (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

चरण 10.2.2

$\cos (x^{2})$ और $\frac{x^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{\cos (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

चरण 10.3

$\frac{1}{2}$ और $\sin (x^{2})$ को मिलाएं.

$- \frac{\cos (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{\sin (x^{2})}{2} + C$

चरण 10.4

गुणनखंडों को $- \frac{\cos (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{\sin (x^{2})}{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$- \frac{x^{2} \cos (x^{2})}{2} + \frac{\sin (x^{2})}{2} + C$

चरण 11

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- \frac{1}{2} x^{2} \cos (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$