कैलकुलस उदाहरण

$\int x^{2} \sin (5 x) d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x^{2}$ और $d v = \sin (5 x)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x^{2} (- \frac{1}{5} \cos (5 x)) - \int - \frac{1}{5} \cos (5 x) (2 x) d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\cos (5 x)$ और $\frac{1}{5}$ को मिलाएं.

$x^{2} (- \frac{\cos (5 x)}{5}) - \int - \frac{1}{5} \cos (5 x) (2 x) d x$

चरण 2.2

$x^{2}$ और $\frac{\cos (5 x)}{5}$ को मिलाएं.

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} - \int - \frac{1}{5} \cos (5 x) (2 x) d x$

चरण 3

चूँकि $- \frac{1}{5} \cdot 2$ बटे $x$ अचर है, $- \frac{1}{5} \cdot 2$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} - (- \frac{1}{5} \cdot 2 \int \cos (5 x) (x) d x)$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} - (- 2 (\frac{1}{5}) \int \cos (5 x) (x) d x)$

चरण 4.2

$- 2$ और $\frac{1}{5}$ को मिलाएं.

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} - (\frac{- 2}{5} \int \cos (5 x) (x) d x)$

चरण 4.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} - (- \frac{2}{5} \int \cos (5 x) (x) d x)$

चरण 4.4

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + 1 (\frac{2}{5} \int \cos (5 x) (x) d x)$

चरण 4.5

$\frac{2}{5}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} \int \cos (5 x) (x) d x$

चरण 5

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = \cos (5 x)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (x (\frac{1}{5} \sin (5 x)) - \int \frac{1}{5} \sin (5 x) d x)$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{5}$ और $\sin (5 x)$ को मिलाएं.

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (x \frac{\sin (5 x)}{5} - \int \frac{1}{5} \sin (5 x) d x)$

चरण 6.2

$x$ और $\frac{\sin (5 x)}{5}$ को मिलाएं.

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \int \frac{1}{5} \sin (5 x) d x)$

चरण 6.3

$\frac{1}{5}$ और $\sin (5 x)$ को मिलाएं.

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \int \frac{\sin (5 x)}{5} d x)$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{5}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{5}$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - (\frac{1}{5} \int \sin (5 x) d x))$

चरण 8

मान लीजिए $u = 5 x$ .फिर $d u = 5 d x$ , तो $\frac{1}{5} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

मान लें $u = 5 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$5 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [5 x]$

चरण 8.1.2

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$5 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 8.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$5 \cdot 1$

चरण 8.1.4

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$5$

चरण 8.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \frac{1}{5} \int \sin (u) \frac{1}{5} d u)$

चरण 9

$\sin (u)$ और $\frac{1}{5}$ को मिलाएं.

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{\sin (u)}{5} d u)$

चरण 10

चूँकि $\frac{1}{5}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{5}$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int \sin (u) d u))$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\frac{1}{5}$ को $\frac{1}{5}$ से गुणा करें.

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int \sin (u) d u)$

चरण 11.2

$5$ को $5$ से गुणा करें.

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \frac{1}{25} \int \sin (u) d u)$

चरण 12

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का इंटीग्रल $- \cos (u)$ है.

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \frac{1}{25} (- \cos (u) + C))$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \frac{1}{25} (- \cos (u) + C))$ को $- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25}) + C$

चरण 13.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

$\frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25}) \cdot \frac{5}{5} + C$

चरण 13.2.2

$\frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})$ और $\frac{5}{5}$ को मिलाएं.

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{\frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25}) \cdot 5}{5} + C$

चरण 13.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25}) \cdot 5}{5} + C$

चरण 13.2.4

$5$ और $\frac{2}{5}$ को मिलाएं.

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{5 \cdot 2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})}{5} + C$

चरण 13.2.5

$5$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{10}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})}{5} + C$

चरण 13.2.6

$10$ और $5$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.6.1

$10$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{5 \cdot 2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})}{5} + C$

चरण 13.2.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.6.2.1

$5$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{5 \cdot 2}{5 (1)} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})}{5} + C$

चरण 13.2.6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})}{5} + C$

चरण 13.2.6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{2}{1} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})}{5} + C$

चरण 13.2.6.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + 2 (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})}{5} + C$

चरण 14

$u$ की सभी घटनाओं को $5 x$ से बदलें.

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + 2 (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (5 x)}{25})}{5} + C$

चरण 15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + 2 \frac{x \sin (5 x)}{5} + 2 \frac{\cos (5 x)}{25}}{5} + C$

चरण 15.1.2

$2$ और $\frac{x \sin (5 x)}{5}$ को मिलाएं.

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{2 (x \sin (5 x))}{5} + 2 \frac{\cos (5 x)}{25}}{5} + C$

चरण 15.1.3

$2$ और $\frac{\cos (5 x)}{25}$ को मिलाएं.

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{2 (x \sin (5 x))}{5} + \frac{2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

चरण 15.1.4

$- x^{2} \cos (5 x)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{25}{25}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{2 x \sin (5 x)}{5} - x^{2} \cos (5 x) \cdot \frac{25}{25} + \frac{2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

चरण 15.1.5

$- x^{2} \cos (5 x)$ और $\frac{25}{25}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{2 x \sin (5 x)}{5} + \frac{- x^{2} \cos (5 x) \cdot 25}{25} + \frac{2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

चरण 15.1.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{2 x \sin (5 x)}{5} + \frac{- x^{2} \cos (5 x) \cdot 25 + 2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

चरण 15.1.7

$\frac{2 x \sin (5 x)}{5}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{2 x \sin (5 x)}{5} \cdot \frac{5}{5} + \frac{- x^{2} \cos (5 x) \cdot 25 + 2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

चरण 15.1.8

प्रत्येक व्यंजक को $25$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.8.1

$\frac{2 x \sin (5 x)}{5}$ को $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{2 x \sin (5 x) \cdot 5}{5 \cdot 5} + \frac{- x^{2} \cos (5 x) \cdot 25 + 2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

चरण 15.1.8.2

$5$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{2 x \sin (5 x) \cdot 5}{25} + \frac{- x^{2} \cos (5 x) \cdot 25 + 2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

चरण 15.1.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{2 x \sin (5 x) \cdot 5 - x^{2} \cos (5 x) \cdot 25 + 2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

चरण 15.1.10

$\frac{2 x \sin (5 x) \cdot 5 - x^{2} \cos (5 x) \cdot 25 + 2 \cos (5 x)}{25}$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.10.1

$5$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{10 x \sin (5 x) - x^{2} \cos (5 x) \cdot 25 + 2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

चरण 15.1.10.2

$25$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{10 x \sin (5 x) - 25 x^{2} \cos (5 x) + 2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

चरण 15.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{10 x \sin (5 x) - 25 x^{2} \cos (5 x) + 2 \cos (5 x)}{25} \cdot \frac{1}{5} + C$

चरण 15.3

$\frac{10 x \sin (5 x) - 25 x^{2} \cos (5 x) + 2 \cos (5 x)}{25} \cdot \frac{1}{5}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.3.1

$\frac{10 x \sin (5 x) - 25 x^{2} \cos (5 x) + 2 \cos (5 x)}{25}$ को $\frac{1}{5}$ से गुणा करें.

$\frac{10 x \sin (5 x) - 25 x^{2} \cos (5 x) + 2 \cos (5 x)}{25 \cdot 5} + C$

चरण 15.3.2

$25$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{10 x \sin (5 x) - 25 x^{2} \cos (5 x) + 2 \cos (5 x)}{125} + C$

चरण 15.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{125} (10 x \sin (5 x) - 25 x^{2} \cos (5 x) + 2 \cos (5 x)) + C$