कैलकुलस उदाहरण

$\int x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $x = \sin (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = \cos (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $\cos (t)$ सकारात्मक है.

$\int \sin^{3} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

चरण 2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \sin^{3} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

चरण 2.1.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int \sin^{3} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

चरण 2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$\cos (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

चरण 2.2.2

$\cos (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

चरण 2.2.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int \sin^{3} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

चरण 2.2.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int \sin^{3} (t) \cos^{2} (t) d t$

चरण 3

$\sin^{2} (t)$ का गुणनखंड करें.

$\int \sin^{2} (t) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

चरण 4

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\sin^{2} (t)$ को $1 - \cos^{2} (t)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

चरण 5

मान लीजिए $u = \cos (t)$ .फिर $d u = - \sin (t) d t$ , तो $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = \cos (t)$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$\cos (t)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

चरण 5.1.2

$t$ के संबंध में $\cos (t)$ का व्युत्पन्न $- \sin (t)$ है.

$- \sin (t)$

चरण 5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

चरण 6

$(- 1 + u^{2}) u^{2}$ गुणा करें.

$\int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 1 u^{2}$ को $- u^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

चरण 7.2

घातांक जोड़कर $u^{2}$ को $u^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

चरण 7.2.2

$2$ और $2$ जोड़ें.

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

चरण 8

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

चरण 9

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

चरण 10

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} u^{3}$ है.

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

चरण 11

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{4}$ का समाकलन $\frac{1}{5} u^{5}$ है.

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{1}{3}$ और $u^{3}$ को मिलाएं.

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

चरण 12.2

सरल करें.

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

चरण 13

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$u$ की सभी घटनाओं को $\cos (t)$ से बदलें.

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (t) + \frac{1}{5} \cos^{5} (t) + C$

चरण 13.2

$t$ की सभी घटनाओं को $\arcsin (x)$ से बदलें.

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + \frac{1}{5} \cos^{5} (\arcsin (x)) + C$