कैलकुलस उदाहरण

$\int x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $x = \sin (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = \cos (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $\cos (t)$ सकारात्मक है.

$\int \sin^{2} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

चरण 2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \sin^{2} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

चरण 2.1.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int \sin^{2} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

चरण 2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$\cos (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \sin^{2} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

चरण 2.2.2

$\cos (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \sin^{2} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

चरण 2.2.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int \sin^{2} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

चरण 2.2.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int \sin^{2} (t) \cos^{2} (t) d t$

चरण 3

$\cos^{2} (t)$ को $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$\int \sin^{2} (t) \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

चरण 4

$\sin^{2} (t)$ को $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$\int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ को $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{(1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t))}{2 \cdot 2} d t$

चरण 5.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\int \frac{(1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t))}{4} d t$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} \int (1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t)) d t$

चरण 7

मान लीजिए $u_{1} = 2 t$ .फिर $d u_{1} = 2 d t$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

मान लें $u_{1} = 2 t$ . $\frac{d u_{1}}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$2 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

चरण 7.1.2

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 7.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 7.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 7.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 8

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1})$

चरण 9

से गुणा करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

चरण 9.1.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{1}{8} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

चरण 9.2

$(1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1}))$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{8} \int 1 (1 + \cos (u_{1})) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

चरण 9.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

चरण 9.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cdot 1 - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

चरण 9.2.4

$\cos (u_{1})$ ले जाएं.

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

चरण 9.2.5

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{8} \int 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

चरण 9.2.6

$\cos (u_{1})$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

चरण 9.2.7

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

चरण 9.2.8

गुणनखंड ऋणात्मक प्राप्त हुआ.

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

चरण 9.2.9

$\cos (u_{1})$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

चरण 9.2.10

$\cos (u_{1})$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})) d u_{1}$

चरण 9.2.11

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - {\cos (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

चरण 9.2.12

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 9.2.13

$\cos (u_{1})$ में से $\cos (u_{1})$ घटाएं.

$\frac{1}{8} \int 1 + 0 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 9.2.14

$0$ में से $\cos^{2} (u_{1})$ घटाएं.

$\frac{1}{8} \int 1 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 10

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{8} (\int d u_{1} + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

चरण 11

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

चरण 12

चूँकि $- 1$ बटे $u_{1}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

चरण 13

$\cos^{2} (u_{1})$ को $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

चरण 14

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

चरण 15

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

चरण 16

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

चरण 17

मान लीजिए $u_{2} = 2 u_{1}$ .फिर $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

मान लें $u_{2} = 2 u_{1}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1.1

$2 u_{1}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

चरण 17.1.2

चूंकि $2$ , $u_{1}$ के संबंध में स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $2 u_{1}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ है.

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

चरण 17.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 17.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 17.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

चरण 18

$\cos (u_{2})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

चरण 19

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

चरण 20

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का इंटीग्रल $\sin (u_{2})$ है.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)))$

चरण 21

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.1

सरल करें.

$\frac{1}{8} (u_{1} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

चरण 21.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.2.1

$u_{1}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{8} (u_{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

चरण 21.2.2

$u_{1}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1} \cdot 2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

चरण 21.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1} \cdot 2 - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

चरण 21.2.4

$2$ को $u_{1}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot u_{1} - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

चरण 21.2.5

$2 u_{1}$ में से $u_{1}$ घटाएं.

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

चरण 22

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 t$ से बदलें.

$\frac{1}{8} (\frac{2 t}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

चरण 22.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 u_{1}$ से बदलें.

$\frac{1}{8} (\frac{2 t}{2} - \frac{\sin (2 u_{1})}{4}) + C$

चरण 22.3

$t$ की सभी घटनाओं को $\arcsin (x)$ से बदलें.

$\frac{1}{8} (\frac{2 \arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 u_{1})}{4}) + C$

चरण 22.4

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 t$ से बदलें.

$\frac{1}{8} (\frac{2 \arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 (2 t))}{4}) + C$

चरण 22.5

$t$ की सभी घटनाओं को $\arcsin (x)$ से बदलें.

$\frac{1}{8} (\frac{2 \arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 (2 \arcsin (x)))}{4}) + C$

चरण 23

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{8} (\frac{2 \arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 (2 \arcsin (x)))}{4}) + C$

चरण 23.1.1.2

$\arcsin (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{8} (\arcsin (x) - \frac{\sin (2 (2 \arcsin (x)))}{4}) + C$

चरण 23.1.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{8} (\arcsin (x) - \frac{\sin (4 \arcsin (x))}{4}) + C$

चरण 23.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{8} \arcsin (x) + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 \arcsin (x))}{4}) + C$

चरण 23.3

$\frac{1}{8}$ और $\arcsin (x)$ को मिलाएं.

$\frac{\arcsin (x)}{8} + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 \arcsin (x))}{4}) + C$

चरण 23.4

$\frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 \arcsin (x))}{4})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.4.1

$\frac{1}{8}$ को $\frac{\sin (4 \arcsin (x))}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{\arcsin (x)}{8} - \frac{\sin (4 \arcsin (x))}{8 \cdot 4} + C$

चरण 23.4.2

$8$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{\arcsin (x)}{8} - \frac{\sin (4 \arcsin (x))}{32} + C$

चरण 24

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{8} \arcsin (x) - \frac{1}{32} \sin (4 \arcsin (x)) + C$