कैलकुलस उदाहरण

$\int x^{2} \cos (4 x) d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x^{2}$ और $d v = \cos (4 x)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x^{2} (\frac{1}{4} \sin (4 x)) - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) (2 x) d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{4}$ और $\sin (4 x)$ को मिलाएं.

$x^{2} \frac{\sin (4 x)}{4} - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) (2 x) d x$

चरण 2.2

$x^{2}$ और $\frac{\sin (4 x)}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) (2 x) d x$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{4} \cdot 2$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{4} \cdot 2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 2 \int \sin (4 x) (x) d x)$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{1}{4}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - (\frac{2}{4} \int \sin (4 x) (x) d x)$

चरण 4.2

$2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - (\frac{2 (1)}{4} \int \sin (4 x) (x) d x)$

चरण 4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \sin (4 x) (x) d x)$

चरण 4.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \sin (4 x) (x) d x)$

चरण 4.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - (\frac{1}{2} \int \sin (4 x) (x) d x)$

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} \int \sin (4 x) (x) d x$

चरण 5

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = \sin (4 x)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (x (- \frac{1}{4} \cos (4 x)) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x)$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\cos (4 x)$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (x (- \frac{\cos (4 x)}{4}) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x)$

चरण 6.2

$x$ और $\frac{\cos (4 x)}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x)$

चरण 6.3

$\cos (4 x)$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} - \int - \frac{\cos (4 x)}{4} d x)$

चरण 7

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} - - \int \frac{\cos (4 x)}{4} d x)$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + 1 \int \frac{\cos (4 x)}{4} d x)$

चरण 8.2

$\int \frac{\cos (4 x)}{4} d x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \int \frac{\cos (4 x)}{4} d x)$

चरण 9

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x)$

चरण 10

मान लीजिए $u = 4 x$ .फिर $d u = 4 d x$ , तो $\frac{1}{4} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

मान लें $u = 4 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$4 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [4 x]$

चरण 10.1.2

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 10.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 \cdot 1$

चरण 10.1.4

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4$

चरण 10.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (u) \frac{1}{4} d u)$

चरण 11

$\cos (u)$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \frac{\cos (u)}{4} d u)$

चरण 12

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \cos (u) d u))$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{1}{4}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int \cos (u) d u)$

चरण 13.2

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} \int \cos (u) d u)$

चरण 14

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (\sin (u) + C))$

चरण 15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (\sin (u) + C))$ को $\frac{1}{4} x^{2} \sin (4 x) - \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u)) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} x^{2} \sin (4 x) - \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u)) + C$

चरण 15.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1

$\frac{1}{4}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2}}{4} \sin (4 x) - \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u)) + C$

चरण 15.2.2

$\frac{x^{2}}{4}$ और $\sin (4 x)$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u)) + C$

चरण 15.2.3

$x$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x}{4} \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u)) + C$

चरण 15.2.4

$\cos (4 x)$ और $\frac{x}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{1}{16} \sin (u)) + C$

चरण 15.2.5

$\frac{1}{16}$ और $\sin (u)$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16}) + C$

चरण 15.2.6

$- \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16}) \cdot \frac{4}{4} + C$

चरण 15.2.7

$- \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} + \frac{- \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16}) \cdot 4}{4} + C$

चरण 15.2.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16}) \cdot 4}{4} + C$

चरण 15.2.9

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - 4 (\frac{1}{2}) (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

चरण 15.2.10

$- 4$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{- 4}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

चरण 15.2.11

$- 4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.11.1

$- 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{2 \cdot - 2}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

चरण 15.2.11.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.11.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

चरण 15.2.11.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

चरण 15.2.11.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{- 2}{1} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

चरण 15.2.11.2.4

$- 2$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - 2 (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

चरण 16

$u$ की सभी घटनाओं को $4 x$ से बदलें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - 2 (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (4 x)}{16})}{4} + C$

चरण 17

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - 2 (- \frac{\cos (4 x) x}{4}) - 2 \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

चरण 17.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.1

$- \frac{\cos (4 x) x}{4}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - 2 \frac{- \cos (4 x) x}{4} - 2 \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

चरण 17.2.2

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + 2 (- 1) \frac{- \cos (4 x) x}{4} - 2 \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

चरण 17.2.3

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + 2 \cdot - 1 \frac{- \cos (4 x) x}{2 \cdot 2} - 2 \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

चरण 17.2.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + 2 \cdot - 1 \frac{- \cos (4 x) x}{2 \cdot 2} - 2 \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

चरण 17.2.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - \frac{- \cos (4 x) x}{2} - 2 \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

चरण 17.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.3.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - \frac{- \cos (4 x) x}{2} + 2 (- 1) \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

चरण 17.3.2

$16$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - \frac{- \cos (4 x) x}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{\sin (4 x)}{2 \cdot 8}}{4} + C$

चरण 17.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - \frac{- \cos (4 x) x}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{\sin (4 x)}{2 \cdot 8}}{4} + C$

चरण 17.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - \frac{- \cos (4 x) x}{2} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

चरण 17.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.4.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - - \frac{\cos (4 x) x}{2} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

चरण 17.4.2

$- - \frac{\cos (4 x) x}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.4.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + 1 \frac{\cos (4 x) x}{2} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

चरण 17.4.2.2

$\frac{\cos (4 x) x}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{\cos (4 x) x}{2} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

चरण 17.5

गुणनखंडों को $\frac{\cos (4 x) x}{2} - \frac{\sin (4 x)}{8}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{x \cos (4 x)}{2} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

चरण 18

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1.1

$x^{2} \sin (4 x)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{8}{8}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{x \cos (4 x)}{2} + x^{2} \sin (4 x) \cdot \frac{8}{8} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

चरण 18.1.2

$x^{2} \sin (4 x)$ और $\frac{8}{8}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{x \cos (4 x)}{2} + \frac{x^{2} \sin (4 x) \cdot 8}{8} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

चरण 18.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{x \cos (4 x)}{2} + \frac{x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

चरण 18.1.4

$\frac{x \cos (4 x)}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{x \cos (4 x)}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

चरण 18.1.5

प्रत्येक व्यंजक को $8$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1.5.1

$\frac{x \cos (4 x)}{2}$ को $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{x \cos (4 x) \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

चरण 18.1.5.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{x \cos (4 x) \cdot 4}{8} + \frac{x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

चरण 18.1.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{x \cos (4 x) \cdot 4 + x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

चरण 18.1.7

$\frac{x \cos (4 x) \cdot 4 + x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1.7.1

$4$ को $x \cos (4 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\frac{4 \cdot (x \cos (4 x)) + x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

चरण 18.1.7.2

$8$ को $x^{2} \sin (4 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\frac{4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

चरण 18.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)}{8} \cdot \frac{1}{4} + C$

चरण 18.3

$\frac{4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)}{8} \cdot \frac{1}{4}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.3.1

$\frac{4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)}{8}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)}{8 \cdot 4} + C$

चरण 18.3.2

$8$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)}{32} + C$

चरण 18.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{32} (4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)) + C$