कैलकुलस उदाहरण

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 2 \cot (\frac{x}{3}) d x$

चरण 1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cot (\frac{x}{3}) d x$

चरण 2

मान लीजिए $u = \frac{x}{3}$ .फिर $d u = \frac{1}{3} d x$ , तो $3 d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = \frac{x}{3}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\frac{x}{3}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

चरण 2.1.2

चूंकि $\frac{1}{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x}{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{3} \cdot 1$

चरण 2.1.4

$\frac{1}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3}$

चरण 2.2

$x$ के लिए $u = \frac{x}{3}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

चरण 2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$u_{lower} = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

चरण 2.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$\frac{π}{2}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$u_{lower} = \frac{π}{2 \cdot 3}$

चरण 2.3.2.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

चरण 2.4

$x$ के लिए $u = \frac{x}{3}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

चरण 2.5

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

चरण 2.6

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{1}{3}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) (1 \cdot 3) d u$

चरण 3.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) \cdot 3 d u$

चरण 3.3

$3$ को $\cot (u)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} 3 \cot (u) d u$

चरण 4

चूँकि $3$ बटे $u$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (3 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) d u)$

चरण 5

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) d u$

चरण 6

$u$ के संबंध में $\cot (u)$ का इंटीग्रल $\ln (| \sin (u) |)$ है.

$6 (\ln (| \sin (u) |)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}})$

चरण 7

$\frac{π}{3}$ पर और $\frac{π}{6}$ पर $\ln (| \sin (u) |)$ का मान ज्ञात करें.

$6 (\ln (| \sin (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{6}) |))$

चरण 8

सरल करें.

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चरण 8.1

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$6 (\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \sin (\frac{π}{6}) |))$

चरण 8.2

$\sin (\frac{π}{6})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$6 (\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \frac{1}{2} |))$

चरण 8.3

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$6 \ln (\frac{| \frac{\sqrt{3}}{2} |}{| \frac{1}{2} |})$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ लगभग $0.8660254$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$6 \ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{| \frac{1}{2} |})$

चरण 9.2

$\frac{1}{2}$ लगभग $0.5$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$6 \ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}})$

चरण 9.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$6 \ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2)$

चरण 9.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$6 \ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2)$

चरण 9.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$6 \ln (\sqrt{3})$

चरण 10

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$6 \ln (\sqrt{3})$

दशमलव रूप:

$3.29583686 \dots$