कैलकुलस उदाहरण

$\int_{\frac{π}{3}}^{2 π} 4 \cos^{3} (x) \sin (x) d x$

चरण 1

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$4 \int_{\frac{π}{3}}^{2 π} \cos^{3} (x) \sin (x) d x$

चरण 2

मान लीजिए $u = \cos (x)$ .फिर $d u = - \sin (x) d x$ , तो $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = \cos (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\cos (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 2.1.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$- \sin (x)$

चरण 2.2

$x$ के लिए $u = \cos (x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{3})$

चरण 2.3

$\cos (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

चरण 2.4

$x$ के लिए $u = \cos (x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \cos (2 π)$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$u_{upper} = \cos (0)$

चरण 2.5.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{upper} = 1$

चरण 2.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

$u_{upper} = 1$

चरण 2.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$4 \int_{\frac{1}{2}}^{1} - u^{3} d u$

चरण 3

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$4 (- \int_{\frac{1}{2}}^{1} u^{3} d u)$

चरण 4

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$- 4 \int_{\frac{1}{2}}^{1} u^{3} d u$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} u^{4}$ है.

$- 4 (\frac{1}{4} u^{4}]_{\frac{1}{2}}^{1})$

चरण 6

$\frac{1}{4}$ और $u^{4}$ को मिलाएं.

$- 4 (\frac{u^{4}}{4}]_{\frac{1}{2}}^{1})$

चरण 7

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$1$ पर और $\frac{1}{2}$ पर $\frac{u^{4}}{4}$ का मान ज्ञात करें.

$- 4 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4})$

चरण 7.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- 4 (\frac{1}{4} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4})$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- 4 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{4}}{4}$

चरण 8.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

उत्पाद नियम को $\frac{1}{2}$ पर लागू करें.

$- 4 \frac{1 - \frac{1^{4}}{2^{4}}}{4}$

चरण 8.2.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- 4 \frac{1 - \frac{1}{2^{4}}}{4}$

चरण 8.2.3

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 4 \frac{1 - \frac{1}{16}}{4}$

चरण 8.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$- 4 \frac{\frac{16}{16} - \frac{1}{16}}{4}$

चरण 8.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- 4 \frac{\frac{16 - 1}{16}}{4}$

चरण 8.5

$16$ में से $1$ घटाएं.

$- 4 \frac{\frac{15}{16}}{4}$

चरण 8.6

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.6.1

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$4 (- 1) \frac{\frac{15}{16}}{4}$

चरण 8.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 \cdot - 1 \frac{\frac{15}{16}}{4}$

चरण 8.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{15}{16}$

चरण 9

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \frac{15}{16}$

दशमलव रूप:

$- 0.9375$