कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{\ln (x)}{x \sqrt{1 + \ln (x)}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 1 + \ln (x)$ .फिर $d u = \frac{1}{x} d x$ , तो $x d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = 1 + \ln (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$1 + \ln (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + \ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

चरण 1.1.3

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$0 + \frac{1}{x}$

चरण 1.1.4

$0$ और $\frac{1}{x}$ जोड़ें.

$\frac{1}{x}$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{\ln (e^{u - 1})}{\sqrt{u}} d u$

चरण 2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 2.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$u - 1$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$\int \frac{(u - 1) \ln (e)}{\sqrt{u}} d u$

चरण 2.1.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$\int \frac{(u - 1) \cdot 1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 2.1.3

$u - 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\int \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 2.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

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चरण 2.2.1

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

चरण 2.2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\int (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 2.2.3

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 2.2.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\int (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

चरण 2.2.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 3

$(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ का प्रसार करें.

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चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 3.2

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 3.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 3.4

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 3.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\int u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 3.6

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\int u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 6

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

सरल करें.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 8.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 9

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + \ln (x)$ से बदलें.

$\frac{2}{3} {(1 + \ln (x))}^{\frac{3}{2}} - 2 {(1 + \ln (x))}^{\frac{1}{2}} + C$