कैलकुलस उदाहरण

$\int e^{- 2 x} \sin (2 x) d x$

चरण 1

$e^{- 2 x}$ और $\sin (2 x)$ को पुन: क्रमित करें.

$\int \sin (2 x) e^{- 2 x} d x$

चरण 2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \sin (2 x)$ और $d v = e^{- 2 x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\sin (2 x) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 \cos (2 x)) d x$

चरण 3

चूँकि $- \frac{1}{2} \cdot 2$ बटे $x$ अचर है, $- \frac{1}{2} \cdot 2$ को समाकलन से हटा दें.

$\sin (2 x) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

चरण 4

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$e^{- 2 x}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\sin (2 x) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

चरण 4.2

$\sin (2 x)$ और $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

चरण 4.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (- 2 (\frac{1}{2}) \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

चरण 4.4

$- 2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

चरण 4.5

$e^{- 2 x}$ और $\cos (2 x)$ को पुन: क्रमित करें.

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} \int \cos (2 x) e^{- 2 x} d x)$

चरण 5

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \cos (2 x)$ और $d v = e^{- 2 x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (\cos (2 x) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (- 2 \sin (2 x)) d x))$

चरण 6

चूँकि $- \frac{1}{2} \cdot - 2$ बटे $x$ अचर है, $- \frac{1}{2} \cdot - 2$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (\cos (2 x) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - (- \frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

चरण 7

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$e^{- 2 x}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (\cos (2 x) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - (- \frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

चरण 7.2

$\cos (2 x)$ और $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (- \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

चरण 7.3

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (- \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (2 (\frac{1}{2}) \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

चरण 7.4

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (- \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

चरण 7.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{- 2}{2} (- \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}) - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

चरण 7.6

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + 1 (\frac{- 2}{2}) \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

चरण 7.6.2

$\frac{- 2}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2}{2} \cdot \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

चरण 7.7

$\frac{- 2}{2}$ को $\frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

चरण 7.8

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.8.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

चरण 7.8.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + 1 (\frac{- 2}{2}) (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)$

चरण 7.8.3

$\frac{- 2}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + \frac{- 2}{2} (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)$

चरण 7.9

$\frac{2}{2}$ को $\frac{- 2}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x$

चरण 7.10

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.10.1

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + \frac{- 4}{2 \cdot 2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x$

चरण 7.10.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + \frac{- 4}{4} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x$

चरण 8

$\int e^{- 2 x} \sin (2 x) d x$ को हल करने पर, हम पाते हैं कि $\int e^{- 2 x} \sin (2 x) d x$ = $\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4}}{\frac{8}{4}}$ .

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

चरण 9

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$- 2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1.1

$- 2 \cos (2 x) e^{- 2 x}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{2 (- \cos (2 x) e^{- 2 x})}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

चरण 9.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{2 (- \cos (2 x) e^{- 2 x})}{2 (2)}}{\frac{8}{4}} + C$

चरण 9.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{2 (- \cos (2 x) e^{- 2 x})}{2 \cdot 2}}{\frac{8}{4}} + C$

चरण 9.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- \cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{8}{4}} + C$

चरण 9.1.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{8}{4}} + C$

चरण 9.1.3

$8$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4}} + C$

चरण 9.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4 (1)}} + C$

चरण 9.1.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1}} + C$

चरण 9.1.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{2}{1}} + C$

चरण 9.1.3.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{2} + C$

चरण 9.2

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{2} + C$ को $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \sin (2 x) e^{- 2 x} - \frac{1}{2} \cos (2 x) e^{- 2 x}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \sin (2 x) e^{- 2 x} - \frac{1}{2} \cos (2 x) e^{- 2 x}) + C$

चरण 9.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$\sin (2 x)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{2} \cos (2 x) e^{- 2 x}) + C$

चरण 9.3.2

$e^{- 2 x}$ और $\frac{\sin (2 x)}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \cos (2 x) e^{- 2 x}) + C$

चरण 9.3.3

$\cos (2 x)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2} - \frac{\cos (2 x)}{2} e^{- 2 x}) + C$

चरण 9.3.4

$e^{- 2 x}$ और $\frac{\cos (2 x)}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2} - \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}) + C$

चरण 9.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2}) + \frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}) + C$

चरण 9.4.2

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.2.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}) + C$

चरण 9.4.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}) + C$

चरण 9.4.3

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.3.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

चरण 9.4.3.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{4} + C$

चरण 9.5

कोष्ठक हटा दें.

$- \frac{1}{4} e^{- 2 x} \sin (2 x) - \frac{1}{4} e^{- 2 x} \cos (2 x) + C$