कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{9 - x^{2}}} d x d x$

चरण 1

मान लीजिए $x = 3 \sin (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = 3 \cos (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $3 \cos (t)$ सकारात्मक है.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t d x$

चरण 2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

उत्पाद नियम को $3 \sin (t)$ पर लागू करें.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

चरण 2.1.1.2

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

चरण 2.1.1.3

$9$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

चरण 2.1.2

$9$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

चरण 2.1.3

$- 9 \sin^{2} (t)$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

चरण 2.1.4

$9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

चरण 2.1.5

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

चरण 2.1.6

$9 \cos^{2} (t)$ को ${(3 \cos (t))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t d x$

चरण 2.1.7

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} (3 \cos (t))} (3 \cos (t)) d t d x$

चरण 2.2

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$3 \cos (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

${(3 \sin (t))}^{2} (3 \cos (t))$ में से $3 \cos (t)$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{3 \cos (t) ({(3 \sin (t))}^{2})} (3 \cos (t)) d t d x$

चरण 2.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{1}{3 \cos (t) {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t d x$

चरण 2.2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2}} d t d x$

चरण 2.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$3 \sin (t)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{{(3 (\sin (t)))}^{2}} d t d x$

चरण 2.2.2.2

उत्पाद नियम को $3 (\sin (t))$ पर लागू करें.

$\int \frac{1}{3^{2} \sin^{2} (t)} d t d x$

चरण 2.2.2.3

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{1}{9 \sin^{2} (t)} d t d x$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{9}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{9}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t d x$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ को $\csc^{2} (t)$ में बदलें.

$\frac{1}{9} \int \csc^{2} (t) d t d x$

चरण 4.2

$d$ और $\frac{1}{9}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{9} \int \csc^{2} (t) d t x$

चरण 4.3

$x$ और $\frac{d}{9}$ को मिलाएं.

$\frac{x d}{9} \int \csc^{2} (t) d t$

चरण 5

चूंकि $- \cot (t)$ का व्युत्पन्न $\csc^{2} (t)$ है, $\csc^{2} (t)$ का समाकलन $- \cot (t)$ है.

$\frac{x d}{9} (- \cot (t) + C)$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{x d}{9} (- \cot (t) + C)$ को $\frac{1}{9} x d (- \cot (t)) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{9} x d (- \cot (t)) + C$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$\frac{1}{9}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{x}{9} d (- \cot (t)) + C$

चरण 6.2.2

$\frac{x}{9}$ और $d$ को मिलाएं.

$\frac{x d}{9} (- \cot (t)) + C$

चरण 6.2.3

$\frac{x d}{9}$ और $\cot (t)$ को मिलाएं.

$- \frac{x d \cot (t)}{9} + C$

चरण 7

$t$ की सभी घटनाओं को $\arcsin (\frac{x}{3})$ से बदलें.

$- \frac{x d \cot (\arcsin (\frac{x}{3}))}{9} + C$

चरण 8

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

समतल में एक त्रिभुज बनाएंं जिसमें शीर्ष $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, 0)$ और मूल बिंदु हों. फिर $\arcsin (\frac{x}{3})$ धनात्मक x-अक्ष और किरण के बीच का कोण है जो मूल बिंदु से शुरू होकर $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ से होकर गुजरती है. इसलिए, $\cot (\arcsin (\frac{x}{3}))$ $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}{\frac{x}{3}}$ है.

$- \frac{x d \frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}{\frac{x}{3}}}{9} + C$

चरण 8.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$- \frac{x d (\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{3}{x})}{9} + C$

चरण 8.3

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{x d (\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{3}{x})}{9} + C$

चरण 8.4

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 1$ और $b = \frac{x}{3}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

चरण 8.5

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$- \frac{x d (\sqrt{(\frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

चरण 8.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

चरण 8.7

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} (\frac{3}{3} - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

चरण 8.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} \cdot \frac{3 - x}{3}} \frac{3}{x})}{9} + C$

चरण 8.9

$\frac{3 + x}{3}$ को $\frac{3 - x}{3}$ से गुणा करें.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}} \frac{3}{x})}{9} + C$

चरण 8.10

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}} \frac{3}{x})}{9} + C$

चरण 8.11

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}$ को ${(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.11.1

$(3 + x) (3 - x)$ में से पूर्ण घात $1^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}} \frac{3}{x})}{9} + C$

चरण 8.11.2

$9$ में से पूर्ण घात $3^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}} \frac{3}{x})}{9} + C$

चरण 8.11.3

भिन्न को पुनर्व्यवस्थित करें $\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))} \frac{3}{x})}{9} + C$

चरण 8.12

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$- \frac{x d (\frac{1}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)} \frac{3}{x})}{9} + C$

चरण 8.13

$\frac{1}{3}$ और $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ को मिलाएं.

$- \frac{x d (\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \cdot \frac{3}{x})}{9} + C$

चरण 8.14

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.14.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{x d (\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \cdot \frac{3}{x})}{9} + C$

चरण 8.14.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{x d (\sqrt{(3 + x) (3 - x)} \frac{1}{x})}{9} + C$

चरण 8.15

$\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$- \frac{x d \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

चरण 8.16

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.16.1

$x$ और $\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ को मिलाएं.

$- \frac{d \frac{x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

चरण 8.16.2

$d$ और $\frac{x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ को मिलाएं.

$- \frac{\frac{d (x \sqrt{(3 + x) (3 - x)})}{x}}{9} + C$

चरण 8.17

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$- \frac{\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

चरण 8.18

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.18.1

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.18.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

चरण 8.18.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{\frac{d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{1}}{9} + C$

चरण 8.18.2

$d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \frac{d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{9} + C$

$- \frac{1}{9} d \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + C$