कैलकुलस उदाहरण

$\int \tan^{3} (3 x) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{1} = 3 x$ .फिर $d u_{1} = 3 d x$ , तो $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{1} = 3 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$3 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

चरण 1.1.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1$

चरण 1.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$

चरण 1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \tan^{3} (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1}$

चरण 2

$\tan^{3} (u_{1})$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\tan^{3} (u_{1})}{3} d u_{1}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} \int \tan^{3} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 4

$\tan^{2} (u_{1})$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{3} \int \tan^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$

चरण 5

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\tan^{2} (u_{1})$ को $- 1 + \sec^{2} (u_{1})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} \int (- 1 + \sec^{2} (u_{1})) \tan (u_{1}) d u_{1}$

चरण 6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{3} \int - 1 \tan (u_{1}) + \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$

चरण 7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{3} (\int - 1 \tan (u_{1}) d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

चरण 8

चूँकि $- 1$ बटे $u_{1}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} (- \int \tan (u_{1}) d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

चरण 9

$u_{1}$ के संबंध में $\tan (u_{1})$ का इंटीग्रल $\ln (| \sec (u_{1}) |)$ है.

$\frac{1}{3} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

चरण 10

मान लीजिए $u_{2} = \sec (u_{1})$ .फिर $d u_{2} = \sec (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$ , तो $\frac{1}{\sec (u_{1}) \tan (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

मान लें $u_{2} = \sec (u_{1})$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$\sec (u_{1})$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})]$

चरण 10.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\sec (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ है.

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$

चरण 10.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \int u_{2} d u_{2})$

चरण 11

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में $u_{2}$ का समाकलन $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ है.

$\frac{1}{3} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

चरण 12

सरल करें.

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (u_{1}) |) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

चरण 13

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

चरण 13.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\sec (u_{1})$ से बदलें.

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (u_{1})) + C$

चरण 13.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (3 x)) + C$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\frac{1}{2}$ और $\sec^{2} (3 x)$ को मिलाएं.

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{\sec^{2} (3 x)}{2}) + C$

चरण 14.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |)) + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sec^{2} (3 x)}{2} + C$

चरण 14.3

$\frac{1}{3}$ और $\ln (| \sec (3 x) |)$ को मिलाएं.

$- \frac{\ln (| \sec (3 x) |)}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sec^{2} (3 x)}{2} + C$

चरण 14.4

जोड़ना.

$- \frac{\ln (| \sec (3 x) |)}{3} + \frac{1 \sec^{2} (3 x)}{3 \cdot 2} + C$

चरण 14.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.5.1

$\sec^{2} (3 x)$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{\ln (| \sec (3 x) |)}{3} + \frac{\sec^{2} (3 x)}{3 \cdot 2} + C$

चरण 14.5.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{\ln (| \sec (3 x) |)}{3} + \frac{\sec^{2} (3 x)}{6} + C$

चरण 15

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- \frac{1}{3} \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{1}{6} \sec^{2} (3 x) + C$