कैलकुलस उदाहरण

$\int r^{2} e^{- \frac{2 r}{a}} d r$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = r^{2}$ और $d v = e^{- \frac{2 r}{a}}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$r^{2} (- \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$e^{- \frac{2 r}{a}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$r^{2} (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

चरण 2.2

$a$ और $\frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ को मिलाएं.

$r^{2} (- \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

चरण 2.3

$r^{2}$ और $\frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

चरण 3

चूँकि $- \frac{1}{2} a \cdot 2$ बटे $r$ अचर है, $- \frac{1}{2} a \cdot 2$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- \frac{1}{2} a \cdot 2 \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$a$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- \frac{a}{2} \cdot 2 \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

चरण 4.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- 2 \frac{a}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

चरण 4.3

$- 2$ और $\frac{a}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{- 2 a}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

चरण 4.4

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$- 2 a$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{2 (- a)}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

चरण 4.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{2 (- a)}{2 (1)} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

चरण 4.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{2 (- a)}{2 \cdot 1} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

चरण 4.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{- a}{1} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

चरण 4.4.2.4

$- a$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- a \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

चरण 4.5

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + 1 (a \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

चरण 4.6

$a$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r$

चरण 5

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = r$ और $d v = e^{- \frac{2 r}{a}}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (r (- \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$e^{- \frac{2 r}{a}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (r (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

चरण 6.2

$a$ और $\frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (r (- \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

चरण 6.3

$r$ और $\frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

चरण 6.4

$e^{- \frac{2 r}{a}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} a d r)$

चरण 6.5

$a$ और $\frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

चरण 7

चूँकि $- 1$ बटे $r$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - - \int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + 1 \int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

चरण 8.2

$\int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

चरण 9

चूँकि $\frac{a}{2}$ बटे $r$ अचर है, $\frac{a}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} d r)$

चरण 10

मान लीजिए $u = - \frac{2 r}{a}$ .फिर $d u = - \frac{2}{a} d r$ , तो $- \frac{a}{2} d u = d r$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

मान लें $u = - \frac{2 r}{a}$ . $\frac{d u}{d r}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$- \frac{2 r}{a}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d r} [- \frac{2 r}{a}]$

चरण 10.1.2

चूंकि $- \frac{2}{a}$ , $r$ के संबंध में स्थिर है, $r$ के संबंध में $- \frac{2 r}{a}$ का व्युत्पन्न $- \frac{2}{a} \frac{d}{d r} [r]$ है.

$- \frac{2}{a} \frac{d}{d r} [r]$

चरण 10.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ $n r^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- \frac{2}{a} \cdot 1$

चरण 10.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{2}{a}$

चरण 10.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{2}{a}} d u)$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} \frac{1}{\frac{2}{a}} d u)$

चरण 11.2

$\frac{2}{a}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} (1 \frac{a}{2}) d u)$

चरण 11.3

$\frac{a}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} \frac{a}{2} d u)$

चरण 11.4

$\frac{a}{2}$ और $e^{u}$ को मिलाएं.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - \frac{a e^{u}}{2} d u)$

चरण 12

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} (- \int \frac{a e^{u}}{2} d u))$

चरण 13

चूँकि $\frac{a}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{a}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} (- (\frac{a}{2} \int e^{u} d u)))$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\frac{a}{2}$ को $\frac{a}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a \cdot a}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

चरण 14.2

$a$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{1} a}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

चरण 14.3

$a$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{1} a^{1}}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

चरण 14.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{1 + 1}}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

चरण 14.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

चरण 14.6

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{4} \int e^{u} d u)$

चरण 15

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{4} (e^{u} + C))$

चरण 16

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{4} (e^{u} + C))$ को $- \frac{1}{2} r^{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{2} r^{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

चरण 16.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.2.1

$r^{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{r^{2}}{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

चरण 16.2.2

$a$ और $\frac{r^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{a r^{2}}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

चरण 16.2.3

$e^{- \frac{2 r}{a}}$ और $\frac{a r^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

चरण 16.2.4

$r$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{r}{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

चरण 16.2.5

$a$ और $\frac{r}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{a r}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

चरण 16.2.6

$e^{- \frac{2 r}{a}}$ और $\frac{a r}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

चरण 16.2.7

$a^{2}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{a^{2}}{4} e^{u}) + C$

चरण 16.2.8

$e^{u}$ और $\frac{a^{2}}{4}$ को मिलाएं.

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) + C$

चरण 16.2.9

$a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

चरण 16.2.10

$a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + \frac{a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

चरण 16.2.11

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

चरण 16.2.12

$2$ को $a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + 2 a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})}{2} + C$

चरण 17

$u$ की सभी घटनाओं को $- \frac{2 r}{a}$ से बदलें.

$\frac{- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + 2 a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} a^{2}}{4})}{2} + C$

चरण 18

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} (- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + 2 a (- \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a r - \frac{1}{4} e^{- \frac{2 r}{a}} a^{2})) + C$