कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{12 x + 18}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

चरण 1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$12 x + 18$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$12 x$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{6 (2 x) + 18}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

चरण 1.1.2

$18$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{6 (2 x) + 6 (3)}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

चरण 1.1.3

$6 (2 x) + 6 (3)$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{6 (2 x + 3)}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

चरण 1.2

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + 3 x - 4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 4$ है और जिसका योग $3$ है.

$- 1, 4$

चरण 1.2.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$\int \frac{6 (2 x + 3)}{\sqrt{(x - 1) (x + 4)}} d x$

चरण 2

चूँकि $6$ बटे $x$ अचर है, $6$ को समाकलन से हटा दें.

$6 \int \frac{2 x + 3}{\sqrt{(x - 1) (x + 4)}} d x$

चरण 3

मान लीजिए $u = (x - 1) (x + 4)$ .फिर $d u = (2 x + 3) d x$ , तो $\frac{1}{2 x + 3} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u = (x - 1) (x + 4)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$(x - 1) (x + 4)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 4)]$

चरण 3.1.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x - 1$ और $g (x) = x + 4$ है.

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

चरण 3.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

चरण 3.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

चरण 3.1.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(x - 1) (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

चरण 3.1.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$(x - 1) \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

चरण 3.1.3.4.2

$x - 1$ को $1$ से गुणा करें.

$x - 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

चरण 3.1.3.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$x - 1 + (x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 3.1.3.6

$x - 1 + (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 3.1.3.7

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x - 1 + (x + 4) (1 + 0)$

चरण 3.1.3.8

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.8.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$x - 1 + (x + 4) \cdot 1$

चरण 3.1.3.8.2

$x + 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x - 1 + x + 4$

चरण 3.1.3.8.3

$x$ और $x$ जोड़ें.

$2 x - 1 + 4$

चरण 3.1.3.8.4

$- 1$ और $4$ जोड़ें.

$2 x + 3$

चरण 3.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$6 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 4

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$6 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

चरण 4.2

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$6 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 4.3

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 4.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$6 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

चरण 4.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$6 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$6 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$6 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ को $6 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$6 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 6.2

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$12 u^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 7

$u$ की सभी घटनाओं को $(x - 1) (x + 4)$ से बदलें.

$12 {((x - 1) (x + 4))}^{\frac{1}{2}} + C$