कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{10 x^{3} - 5 x}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

चरण 1

$10 x^{3} - 5 x$ में से $5 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$10 x^{3}$ में से $5 x$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{5 x (2 x^{2}) - 5 x}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

चरण 1.2

$- 5 x$ में से $5 x$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 1)}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

चरण 1.3

$5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 1)$ में से $5 x$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{5 x (2 x^{2} - 1)}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

चरण 2

चूँकि $5$ बटे $x$ अचर है, $5$ को समाकलन से हटा दें.

$5 \int \frac{x (2 x^{2} - 1)}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

चरण 3

मान लीजिए $u_{1} = x^{2}$ .फिर $d u_{1} = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u_{1} = x^{2}$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x$

चरण 3.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{\sqrt{u_{1}}}^{4} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ को ${u_{1}}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\sqrt{u_{1}}$ को ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 4.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 4.1.3

$\frac{1}{2}$ और $4$ को मिलाएं.

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{4}{2}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 4.1.4

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 4.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 4.1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 4.1.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2}{1}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 4.1.4.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 4.2

$\frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6} \cdot 2} d u_{1}$

चरण 4.3

$2$ को $\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{2 \sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} d u_{1}$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$5 (\frac{1}{2} \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} d u_{1})$

चरण 6

$\frac{1}{2}$ और $5$ को मिलाएं.

$\frac{5}{2} \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} d u_{1}$

चरण 7

मान लीजिए $u_{2} = {u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ .फिर $d u_{2} = (2 u_{1} - 1) d u_{1}$ , तो $\frac{1}{2 u_{1} - 1} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

मान लें $u_{2} = {u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

${u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6]$

चरण 7.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $u_{1}$ के संबंध में ${u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$ है.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

चरण 7.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u_{1} + \frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

चरण 7.1.3

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $u_{1}$ के संबंध में स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $- u_{1}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ है.

$2 u_{1} - \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

चरण 7.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 u_{1} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

चरण 7.1.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$2 u_{1} - 1 + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

चरण 7.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.4.1

चूंकि $u_{1}$ के संबंध में $6$ स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 u_{1} - 1 + 0$

चरण 7.1.4.2

$2 u_{1} - 1$ और $0$ जोड़ें.

$2 u_{1} - 1$

चरण 7.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

चरण 8

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\sqrt{u_{2}}$ को ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

चरण 8.2

${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\frac{5}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

चरण 8.3

घातांक को ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

चरण 8.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\frac{5}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

चरण 8.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{5}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ है.

$\frac{5}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{5}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$ को $\frac{5}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{5}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 10.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$\frac{5}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{5 \cdot 2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 10.2.2

$5$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{10}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 10.2.3

$10$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.1

$10$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 5}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 10.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 5}{2 (1)} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 10.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 10.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{5}{1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 10.2.3.2.4

$5$ को $1$ से विभाजित करें.

$5 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 11

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को ${u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ से बदलें.

$5 {({u_{1}}^{2} - u_{1} + 6)}^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 11.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$5 {({(x^{2})}^{2} - x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} + C$