कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{\cos (x)}{1 + 2 \sin (x)} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 1 + 2 \sin (x)$ .फिर $d u = 2 \cos (x) d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = \cos (x) d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = 1 + 2 \sin (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$1 + 2 \sin (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + 2 \sin (x)]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

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चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + 2 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$0 + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.1.3.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$0 + 2 \cos (x)$

चरण 1.1.4

$0$ और $2 \cos (x)$ जोड़ें.

$2 \cos (x)$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2

सरल करें.

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चरण 2.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

चरण 2.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{1}{2 u} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 4

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

चरण 5

सरल करें.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

चरण 6

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + 2 \sin (x)$ से बदलें.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 \sin (x) |) + C$