कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{6 x^{3}}{2 x^{4} + 1} d x$

चरण 1

चूँकि $6$ बटे $x$ अचर है, $6$ को समाकलन से हटा दें.

$6 \int \frac{x^{3}}{2 x^{4} + 1} d x$

चरण 2

$x^{4}$ को ${(x^{4})}^{1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$6 \int \frac{x^{3}}{2 {(x^{4})}^{1} + 1} d x$

चरण 3

मान लीजिए $u_{1} = x^{4}$ .फिर $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ , तो $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u_{1} = x^{4}$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$x^{4}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$4 x^{3}$

चरण 3.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$6 \int \frac{1}{2 {u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

सरल करें.

$6 \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

चरण 4.2

$\frac{1}{2 u_{1} + 1}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$6 \int \frac{1}{(2 u_{1} + 1) \cdot 4} d u_{1}$

चरण 4.3

$4$ को $2 u_{1} + 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$6 \int \frac{1}{4 (2 u_{1} + 1)} d u_{1}$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$6 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1})$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{4}$ और $6$ को मिलाएं.

$\frac{6}{4} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

चरण 6.2

$6$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (3)}{4} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

चरण 6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

चरण 6.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

चरण 6.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

चरण 7

मान लीजिए $u_{2} = 2 u_{1} + 1$ .फिर $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

मान लें $u_{2} = 2 u_{1} + 1$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$2 u_{1} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1} + 1]$

चरण 7.1.2

योग नियम के अनुसार, $u_{1}$ के संबंध में $2 u_{1} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ है.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

चरण 7.1.3

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.3.1

चूंकि $2$ , $u_{1}$ के संबंध में स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $2 u_{1}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ है.

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

चरण 7.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

चरण 7.1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

चरण 7.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.4.1

चूंकि $u_{1}$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + 0$

चरण 7.1.4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 7.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{1}{u_{2}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

चरण 8.2

$2$ को $u_{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

चरण 9

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{3}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 10.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{3}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 11

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$\frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C)$

चरण 12

सरल करें.

$\frac{3}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

चरण 13

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 u_{1} + 1$ से बदलें.

$\frac{3}{4} \ln (| 2 u_{1} + 1 |) + C$

चरण 13.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{4}$ से बदलें.

$\frac{3}{4} \ln (| 2 x^{4} + 1 |) + C$