कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{x^{3} + 125}{x + 5} d x$

चरण 1

$x^{3} + 125$ को $x + 5$ से विभाजित करें.

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चरण 1.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$125$

चरण 1.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$

चरण 1.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			+	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

चरण 1.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} + 5 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

चरण 1.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

चरण 1.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$

चरण 1.7

भाज्य $- 5 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$

चरण 1.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$

चरण 1.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 5 x^{2} - 25 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$

चरण 1.10

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$
							+	$25 x$

चरण 1.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$
							+	$25 x$	+	$125$

चरण 1.12

भाज्य $25 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$25$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$
							+	$25 x$	+	$125$

चरण 1.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$25$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$
							+	$25 x$	+	$125$
							+	$25 x$	+	$125$

चरण 1.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $25 x + 125$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$25$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$
							+	$25 x$	+	$125$
							-	$25 x$	-	$125$

चरण 1.15

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$25$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$
							+	$25 x$	+	$125$
							-	$25 x$	-	$125$
										$0$

चरण 1.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$\int x^{2} - 5 x + 25 d x$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int x^{2} d x + \int - 5 x d x + \int 25 d x$

चरण 3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 5 x d x + \int 25 d x$

चरण 4

चूँकि $- 5$ बटे $x$ अचर है, $- 5$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 5 \int x d x + \int 25 d x$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 25 d x$

चरण 6

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 25 x + C$

चरण 7

सरल करें.

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चरण 7.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 25 x + C$

चरण 7.2

सरल करें.

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + 25 x + C$

चरण 8

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 25 x + C$