कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $x = \tan (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = \sec^{2} (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $\sec^{2} (t)$ सकारात्मक है.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

चरण 2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

पदों को पुनर्व्यवस्थित करें.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

चरण 2.1.2

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

चरण 2.1.3

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

चरण 2.2

$\sec (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$\sec^{2} (t)$ में से $\sec (t)$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

चरण 2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

चरण 2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

चरण 3

$\sec (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

चरण 4

$\tan^{2} (t)$ का गुणनखंड करें.

$\int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

चरण 5

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\tan^{2} (t)$ को $- 1 + \sec^{2} (t)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

चरण 6

सरल करें.

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

चरण 7

मान लीजिए $u = \sec (t)$ .फिर $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , तो $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

मान लें $u = \sec (t)$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$\sec (t)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

चरण 7.1.2

$t$ के संबंध में $\sec (t)$ का व्युत्पन्न $\sec (t) \tan (t)$ है.

$\sec (t) \tan (t)$

चरण 7.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int - 1 + u^{2} d u$

चरण 8

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

चरण 9

स्थिरांक नियम लागू करें.

$- u + C + \int u^{2} d u$

चरण 10

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} u^{3}$ है.

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

चरण 11

सरल करें.

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

चरण 12

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$u$ की सभी घटनाओं को $\sec (t)$ से बदलें.

$- \sec (t) + \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + C$

चरण 12.2

$t$ की सभी घटनाओं को $\arctan (x)$ से बदलें.

$- \sec (\arctan (x)) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + C$