कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{x^{2} + 2 x + 3}{x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 1} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 1$ .फिर $d u = (3 x^{2} + 6 x + 9) d x$ , तो $\frac{1}{3} d u = (x^{2} + 2 x + 3) d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 1]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.4

$\frac{d}{d x} [9 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $9$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $9 x$ का व्युत्पन्न $9 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 x^{2} + 6 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 x^{2} + 6 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.4.3

$9$ को $1$ से गुणा करें.

$3 x^{2} + 6 x + 9 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.5

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 x^{2} + 6 x + 9 + 0$

चरण 1.1.5.2

$3 x^{2} + 6 x + 9$ और $0$ जोड़ें.

$3 x^{2} + 6 x + 9$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

चरण 2.2

$3$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{1}{3 u} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 4

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C)$

चरण 5

सरल करें.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C$

चरण 6

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 1$ से बदलें.

$\frac{1}{3} \ln (| x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 1 |) + C$