कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{\arctan (3 x)}{1 + 9 x^{2}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{1} = 3 x$ .फिर $d u_{1} = 3 d x$ , तो $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{1} = 3 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$3 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

चरण 1.1.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1$

चरण 1.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$

चरण 1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{\arctan (u_{1})}{1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{(1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}) \cdot 3} d u_{1}$

चरण 2.2

$3$ को $1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{3 (1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2})} d u_{1}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}} d u_{1}$

चरण 4

मान लीजिए $u_{2} = \arctan (u_{1})$ .फिर $d u_{2} = \frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} d u_{1}$ , तो $- d u_{2} = \frac{- 1}{{u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u_{2} = \arctan (u_{1})$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\arctan (u_{1})$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})]$

चरण 4.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\arctan (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ है.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

चरण 4.1.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{{u_{1}}^{2} + 1}$

चरण 4.1.4

पदों को पुनर्व्यवस्थित करें.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

चरण 4.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} \int u_{2} d u_{2}$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में $u_{2}$ का समाकलन $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ है.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ को $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$\frac{1}{3}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 6.2.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{6} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 7

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\arctan (u_{1})$ से बदलें.

$\frac{1}{6} {\arctan (u_{1})}^{2} + C$

चरण 7.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$\frac{1}{6} {\arctan (3 x)}^{2} + C$