कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{1}{\sqrt{9 x^{2} - 4}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $x = \frac{2}{3} \sec (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $\frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3}$ सकारात्मक है.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 {(\frac{2}{3} \sec (t))}^{2} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

चरण 2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{9 {(\frac{2}{3} \sec (t))}^{2} - 4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

$\frac{2}{3}$ और $\sec (t)$ को मिलाएं.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 {(\frac{2 \sec (t)}{3})}^{2} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

चरण 2.1.1.2

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.2.1

उत्पाद नियम को $\frac{2 \sec (t)}{3}$ पर लागू करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{{(2 \sec (t))}^{2}}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

चरण 2.1.1.2.2

उत्पाद नियम को $2 \sec (t)$ पर लागू करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{2^{2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

चरण 2.1.1.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

चरण 2.1.1.4

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{9} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

चरण 2.1.1.5

$9$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{9} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

चरण 2.1.1.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

चरण 2.1.2

$4 \sec^{2} (t)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

चरण 2.1.3

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

चरण 2.1.4

$4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

चरण 2.1.5

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

चरण 2.1.6

$4 \tan^{2} (t)$ को ${(2 \tan (t))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

चरण 2.1.7

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int \frac{1}{2 \tan (t)} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

चरण 2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$\frac{1}{2 \tan (t)}$ को $\frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3}$ से गुणा करें.

$\int \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{2 \tan (t) \cdot 3} d t$

चरण 2.2.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\int \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{6 \tan (t)} d t$

चरण 2.2.3

$2$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

$2 \sec (t) \tan (t)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{6 \tan (t)} d t$

चरण 2.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.2.1

$6 \tan (t)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{2 (3 \tan (t))} d t$

चरण 2.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{2 (3 \tan (t))} d t$

चरण 2.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{\sec (t) \tan (t)}{3 \tan (t)} d t$

चरण 2.2.4

$\tan (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{\sec (t) \tan (t)}{3 \tan (t)} d t$

चरण 2.2.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{\sec (t)}{3} d t$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} \int \sec (t) d t$

चरण 4

$t$ के संबंध में $\sec (t)$ का इंटीग्रल $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ है.

$\frac{1}{3} (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)$

चरण 5

सरल करें.

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

चरण 6

$t$ की सभी घटनाओं को $arcsec (\frac{3 x}{2})$ से बदलें.

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (arcsec (\frac{3 x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{3 x}{2})) |) + C$

चरण 7

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (arcsec (\frac{3}{2} x)) + \tan (arcsec (\frac{3}{2} x)) |) + C$