कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = x + 1$ है.

$f' (x) = \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 1.2.2

$x + 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 1.2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$f' (x) = \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 1.2.4

$f' (x) = \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 1.2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 1.2.6

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 1.2.6.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 1.2.6.3

$x$ में से $x$ घटाएं.

$f' (x) = \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 1.2.6.4

$0$ और $1$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ को ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{2})}^{- 1})$

चरण 2.1.2

घातांक को ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2 \cdot - 1})$

चरण 2.1.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{- 2})$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 2}$ और $g (x) = x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + 1$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 1)$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 2$ है.

$f'' (x) = - 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1)$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1)$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 2.3.2

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 2.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + 0)$

चरण 2.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} \cdot 1$

चरण 2.3.4.2

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3}$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

चरण 2.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$- 2$ और $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{- 2}{{(x + 1)}^{3}}$

चरण 2.4.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$

चरण 3

व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}]$ है.

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

चरण 3.1.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

$\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ को ${({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$

चरण 3.1.2.2

घातांक को ${({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{3 \cdot - 1}$

चरण 3.1.2.2.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{- 3}$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 3}$ और $g (x) = x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + 1$ के रूप में सेट करें.

$f''' (x) = - 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 3}) \frac{d}{d x} (x + 1))$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 3$ है.

$f''' (x) = - 2 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

चरण 3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$f''' (x) = - 2 (- 3 {(x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

चरण 3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- 3$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f''' (x) = 6 ({(x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

चरण 3.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 3.3.3

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 3.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4} (1 + 0)$

चरण 3.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.5.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4} \cdot 1$

चरण 3.3.5.2

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4}$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f''' (x) = 6 (\frac{1}{{(x + 1)}^{4}})$

चरण 3.4.2

$6$ और $\frac{1}{{(x + 1)}^{4}}$ को मिलाएं.

$f''' (x) = \frac{6}{{(x + 1)}^{4}}$

चरण 4

चौथा व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{6}{{(x + 1)}^{4}}$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{4}}]$ है.

$f^{4} (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 1)}^{4}})$

चरण 4.1.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$\frac{1}{{(x + 1)}^{4}}$ को ${({(x + 1)}^{4})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f^{4} (x) = 6 \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{4})}^{- 1})$

चरण 4.1.2.2

घातांक को ${({(x + 1)}^{4})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = 6 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{4 \cdot - 1})$

चरण 4.1.2.2.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = 6 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{- 4})$

चरण 4.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 4}$ और $g (x) = x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + 1$ के रूप में सेट करें.

$f^{4} (x) = 6 (\frac{d}{d u} (u^{- 4}) \frac{d}{d x} (x + 1))$

चरण 4.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 4$ है.

$f^{4} (x) = 6 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} (x + 1))$

चरण 4.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$f^{4} (x) = 6 (- 4 {(x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} (x + 1))$

चरण 4.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$- 4$ को $6$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = - 24 ({(x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} (x + 1))$

चरण 4.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 4.3.3

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 4.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5} (1 + 0)$

चरण 4.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5} \cdot 1$

चरण 4.3.5.2

$- 24$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5}$

चरण 4.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f^{4} (x) = - 24 \frac{1}{{(x + 1)}^{5}}$

चरण 4.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.1

$- 24$ और $\frac{1}{{(x + 1)}^{5}}$ को मिलाएं.

$f^{4} (x) = \frac{- 24}{{(x + 1)}^{5}}$

चरण 4.4.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f^{4} (x) = - \frac{24}{{(x + 1)}^{5}}$

चरण 5

$x$ के संबंध में $f (x)$ का चौथा व्युत्पन्न $- \frac{24}{{(x + 1)}^{5}}$ है.

$- \frac{24}{{(x + 1)}^{5}}$