कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{2 x - 1}{3 x + 4}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 2 x - 1$ और $g (x) = 3 x + 4$ है.

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) \frac{d}{d x} (2 x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

चरण 1.2.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

चरण 1.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

चरण 1.2.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) (2 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

चरण 1.2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) (2 + 0) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

चरण 1.2.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) \cdot 2 - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

चरण 1.2.6.2

$2$ को $3 x + 4$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (3 x + 4) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

चरण 1.2.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - (2 x - 1) (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

चरण 1.2.8

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - (2 x - 1) (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

चरण 1.2.9

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - (2 x - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

चरण 1.2.10

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - (2 x - 1) (3 + \frac{d}{d x} (4))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

चरण 1.2.11

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - (2 x - 1) (3 + 0)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

चरण 1.2.12

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.12.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - (2 x - 1) \cdot 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

चरण 1.2.12.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - 3 (2 x - 1)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = \frac{2 (3 x) + 2 \cdot 4 - 3 (2 x - 1)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

चरण 1.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = \frac{2 (3 x) + 2 \cdot 4 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1}{{(3 x + 4)}^{2}}$

चरण 1.3.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1.1

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{6 x + 2 \cdot 4 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1}{{(3 x + 4)}^{2}}$

चरण 1.3.3.1.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{6 x + 8 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1}{{(3 x + 4)}^{2}}$

चरण 1.3.3.1.3

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{6 x + 8 - 6 x - 3 \cdot - 1}{{(3 x + 4)}^{2}}$

चरण 1.3.3.1.4

$- 3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{6 x + 8 - 6 x + 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

चरण 1.3.3.2

$6 x + 8 - 6 x + 3$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.2.1

$6 x$ में से $6 x$ घटाएं.

$f' (x) = \frac{0 + 8 + 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

चरण 1.3.3.2.2

$0$ और $8$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{8 + 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

चरण 1.3.3.3

$8$ और $3$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{11}{{(3 x + 4)}^{2}}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चूंकि $11$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{11}{{(3 x + 4)}^{2}}$ का व्युत्पन्न $11 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 4)}^{2}}]$ है.

$f'' (x) = 11 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(3 x + 4)}^{2}})$

चरण 2.1.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

$\frac{1}{{(3 x + 4)}^{2}}$ को ${({(3 x + 4)}^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = 11 \frac{d}{d x} ({({(3 x + 4)}^{2})}^{- 1})$

चरण 2.1.2.2

घातांक को ${({(3 x + 4)}^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 11 \frac{d}{d x} ({(3 x + 4)}^{2 \cdot - 1})$

चरण 2.1.2.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 11 \frac{d}{d x} ({(3 x + 4)}^{- 2})$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 2}$ और $g (x) = 3 x + 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 x + 4$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = 11 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 2$ है.

$f'' (x) = 11 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x + 4$ से बदलें.

$f'' (x) = 11 (- 2 {(3 x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- 2$ को $11$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 22 ({(3 x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

चरण 2.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$f'' (x) = - 22 {(3 x + 4)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4))$

चरण 2.3.3

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = - 22 {(3 x + 4)}^{- 3} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

चरण 2.3.4

$f'' (x) = - 22 {(3 x + 4)}^{- 3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4))$

चरण 2.3.5

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 22 {(3 x + 4)}^{- 3} (3 + \frac{d}{d x} (4))$

चरण 2.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = - 22 {(3 x + 4)}^{- 3} (3 + 0)$

चरण 2.3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = - 22 {(3 x + 4)}^{- 3} \cdot 3$

चरण 2.3.7.2

$3$ को $- 22$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 66 {(3 x + 4)}^{- 3}$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = - 66 \frac{1}{{(3 x + 4)}^{3}}$

चरण 2.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$- 66$ और $\frac{1}{{(3 x + 4)}^{3}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{- 66}{{(3 x + 4)}^{3}}$

चरण 2.4.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{66}{{(3 x + 4)}^{3}}$

चरण 3

व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चूंकि $- 66$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{66}{{(3 x + 4)}^{3}}$ का व्युत्पन्न $- 66 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 4)}^{3}}]$ है.

$f''' (x) = - 66 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(3 x + 4)}^{3}}$

चरण 3.1.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

$\frac{1}{{(3 x + 4)}^{3}}$ को ${({(3 x + 4)}^{3})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f''' (x) = - 66 \frac{d}{d x} {({(3 x + 4)}^{3})}^{- 1}$

चरण 3.1.2.2

घातांक को ${({(3 x + 4)}^{3})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - 66 \frac{d}{d x} {(3 x + 4)}^{3 \cdot - 1}$

चरण 3.1.2.2.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f''' (x) = - 66 \frac{d}{d x} {(3 x + 4)}^{- 3}$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 3}$ और $g (x) = 3 x + 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 x + 4$ के रूप में सेट करें.

$f''' (x) = - 66 (\frac{d}{d u} (u^{- 3}) \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 3$ है.

$f''' (x) = - 66 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

चरण 3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x + 4$ से बदलें.

$f''' (x) = - 66 (- 3 {(3 x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

चरण 3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- 3$ को $- 66$ से गुणा करें.

$f''' (x) = 198 ({(3 x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

चरण 3.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$f''' (x) = 198 {(3 x + 4)}^{- 4} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4))$

चरण 3.3.3

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f''' (x) = 198 {(3 x + 4)}^{- 4} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

चरण 3.3.4

$f''' (x) = 198 {(3 x + 4)}^{- 4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4))$

चरण 3.3.5

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$f''' (x) = 198 {(3 x + 4)}^{- 4} (3 + \frac{d}{d x} (4))$

चरण 3.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f''' (x) = 198 {(3 x + 4)}^{- 4} (3 + 0)$

चरण 3.3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.7.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$f''' (x) = 198 {(3 x + 4)}^{- 4} \cdot 3$

चरण 3.3.7.2

$3$ को $198$ से गुणा करें.

$f''' (x) = 594 {(3 x + 4)}^{- 4}$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f''' (x) = 594 (\frac{1}{{(3 x + 4)}^{4}})$

चरण 3.4.2

$594$ और $\frac{1}{{(3 x + 4)}^{4}}$ को मिलाएं.

$f''' (x) = \frac{594}{{(3 x + 4)}^{4}}$

चरण 4

चौथा व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

चूंकि $594$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{594}{{(3 x + 4)}^{4}}$ का व्युत्पन्न $594 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 4)}^{4}}]$ है.

$f^{4} (x) = 594 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(3 x + 4)}^{4}})$

चरण 4.1.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$\frac{1}{{(3 x + 4)}^{4}}$ को ${({(3 x + 4)}^{4})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f^{4} (x) = 594 \frac{d}{d x} ({({(3 x + 4)}^{4})}^{- 1})$

चरण 4.1.2.2

घातांक को ${({(3 x + 4)}^{4})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = 594 \frac{d}{d x} ({(3 x + 4)}^{4 \cdot - 1})$

चरण 4.1.2.2.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = 594 \frac{d}{d x} ({(3 x + 4)}^{- 4})$

चरण 4.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 4}$ और $g (x) = 3 x + 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 x + 4$ के रूप में सेट करें.

$f^{4} (x) = 594 (\frac{d}{d u} (u^{- 4}) \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

चरण 4.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 4$ है.

$f^{4} (x) = 594 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

चरण 4.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x + 4$ से बदलें.

$f^{4} (x) = 594 (- 4 {(3 x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

चरण 4.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$- 4$ को $594$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = - 2376 ({(3 x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

चरण 4.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$f^{4} (x) = - 2376 {(3 x + 4)}^{- 5} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4))$

चरण 4.3.3

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f^{4} (x) = - 2376 {(3 x + 4)}^{- 5} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

चरण 4.3.4

$f^{4} (x) = - 2376 {(3 x + 4)}^{- 5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4))$

चरण 4.3.5

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = - 2376 {(3 x + 4)}^{- 5} (3 + \frac{d}{d x} (4))$

चरण 4.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f^{4} (x) = - 2376 {(3 x + 4)}^{- 5} (3 + 0)$

चरण 4.3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$f^{4} (x) = - 2376 {(3 x + 4)}^{- 5} \cdot 3$

चरण 4.3.7.2

$3$ को $- 2376$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = - 7128 {(3 x + 4)}^{- 5}$

चरण 4.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f^{4} (x) = - 7128 \frac{1}{{(3 x + 4)}^{5}}$

चरण 4.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.1

$- 7128$ और $\frac{1}{{(3 x + 4)}^{5}}$ को मिलाएं.

$f^{4} (x) = \frac{- 7128}{{(3 x + 4)}^{5}}$

चरण 4.4.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f^{4} (x) = - \frac{7128}{{(3 x + 4)}^{5}}$