कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{x + 2}{x - 3}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x + 2$ और $g (x) = x - 3$ है.

$f' (x) = \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$f' (x) = \frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = \frac{(x - 3) (1 + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = \frac{(x - 3) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{(x - 3) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.2.4.2

$x - 3$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{x - 3 - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.2.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ है.

$f' (x) = \frac{x - 3 - (x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.2.6

$f' (x) = \frac{x - 3 - (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.2.7

चूंकि $x$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = \frac{x - 3 - (x + 2) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.2.8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.8.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{x - 3 - (x + 2) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.2.8.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{x - 3 - (x + 2)}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = \frac{x - 3 - x - 1 \cdot 2}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

$x - 3 - x - 1 \cdot 2$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1.1

$x$ में से $x$ घटाएं.

$f' (x) = \frac{0 - 3 - 1 \cdot 2}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.3.2.1.2

$0$ में से $3$ घटाएं.

$f' (x) = \frac{- 3 - 1 \cdot 2}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.3.2.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{- 3 - 2}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.3.2.3

$- 3$ में से $2$ घटाएं.

$f' (x) = \frac{- 5}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = - \frac{5}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चूंकि $- 5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{5}{{(x - 3)}^{2}}$ का व्युत्पन्न $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}]$ है.

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 2.1.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

$\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ को ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} {({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$

चरण 2.1.2.2

घातांक को ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2 \cdot - 1}$

चरण 2.1.2.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{- 2}$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 2}$ और $g (x) = x - 3$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - 3$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = - 5 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 3))$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 2$ है.

$f'' (x) = - 5 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 3$ से बदलें.

$f'' (x) = - 5 (- 2 {(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- 2$ को $- 5$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 10 ({(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

चरण 2.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ है.

$f'' (x) = 10 {(x - 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))$

चरण 2.3.3

$f'' (x) = 10 {(x - 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))$

चरण 2.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 10 {(x - 3)}^{- 3} (1 + 0)$

चरण 2.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = 10 {(x - 3)}^{- 3} \cdot 1$

चरण 2.3.5.2

$10$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 10 {(x - 3)}^{- 3}$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = 10 (\frac{1}{{(x - 3)}^{3}})$

चरण 2.4.2

$10$ और $\frac{1}{{(x - 3)}^{3}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{10}{{(x - 3)}^{3}}$

चरण 3

व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चूंकि $10$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{10}{{(x - 3)}^{3}}$ का व्युत्पन्न $10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 3)}^{3}}]$ है.

$f''' (x) = 10 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x - 3)}^{3}})$

चरण 3.1.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

$\frac{1}{{(x - 3)}^{3}}$ को ${({(x - 3)}^{3})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f''' (x) = 10 \frac{d}{d x} ({({(x - 3)}^{3})}^{- 1})$

चरण 3.1.2.2

घातांक को ${({(x - 3)}^{3})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = 10 \frac{d}{d x} ({(x - 3)}^{3 \cdot - 1})$

चरण 3.1.2.2.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f''' (x) = 10 \frac{d}{d x} ({(x - 3)}^{- 3})$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 3}$ और $g (x) = x - 3$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - 3$ के रूप में सेट करें.

$f''' (x) = 10 (\frac{d}{d u} (u^{- 3}) \frac{d}{d x} (x - 3))$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 3$ है.

$f''' (x) = 10 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} (x - 3))$

चरण 3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 3$ से बदलें.

$f''' (x) = 10 (- 3 {(x - 3)}^{- 4} \frac{d}{d x} (x - 3))$

चरण 3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- 3$ को $10$ से गुणा करें.

$f''' (x) = - 30 ({(x - 3)}^{- 4} \frac{d}{d x} (x - 3))$

चरण 3.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ है.

$f''' (x) = - 30 {(x - 3)}^{- 4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))$

चरण 3.3.3

$f''' (x) = - 30 {(x - 3)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))$

चरण 3.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f''' (x) = - 30 {(x - 3)}^{- 4} (1 + 0)$

चरण 3.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.5.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f''' (x) = - 30 {(x - 3)}^{- 4} \cdot 1$

चरण 3.3.5.2

$- 30$ को $1$ से गुणा करें.

$f''' (x) = - 30 {(x - 3)}^{- 4}$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f''' (x) = - 30 \frac{1}{{(x - 3)}^{4}}$

चरण 3.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$- 30$ और $\frac{1}{{(x - 3)}^{4}}$ को मिलाएं.

$f''' (x) = \frac{- 30}{{(x - 3)}^{4}}$

चरण 3.4.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f''' (x) = - \frac{30}{{(x - 3)}^{4}}$

चरण 4

चौथा व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

चूंकि $- 30$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{30}{{(x - 3)}^{4}}$ का व्युत्पन्न $- 30 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 3)}^{4}}]$ है.

$f^{4} (x) = - 30 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 3)}^{4}}$

चरण 4.1.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$\frac{1}{{(x - 3)}^{4}}$ को ${({(x - 3)}^{4})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f^{4} (x) = - 30 \frac{d}{d x} {({(x - 3)}^{4})}^{- 1}$

चरण 4.1.2.2

घातांक को ${({(x - 3)}^{4})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = - 30 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{4 \cdot - 1}$

चरण 4.1.2.2.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = - 30 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{- 4}$

चरण 4.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 4}$ और $g (x) = x - 3$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - 3$ के रूप में सेट करें.

$f^{4} (x) = - 30 (\frac{d}{d u} (u^{- 4}) \frac{d}{d x} (x - 3))$

चरण 4.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 4$ है.

$f^{4} (x) = - 30 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} (x - 3))$

चरण 4.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 3$ से बदलें.

$f^{4} (x) = - 30 (- 4 {(x - 3)}^{- 5} \frac{d}{d x} (x - 3))$

चरण 4.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$- 4$ को $- 30$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = 120 ({(x - 3)}^{- 5} \frac{d}{d x} (x - 3))$

चरण 4.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ है.

$f^{4} (x) = 120 {(x - 3)}^{- 5} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))$

चरण 4.3.3

$f^{4} (x) = 120 {(x - 3)}^{- 5} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))$

चरण 4.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f^{4} (x) = 120 {(x - 3)}^{- 5} (1 + 0)$

चरण 4.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f^{4} (x) = 120 {(x - 3)}^{- 5} \cdot 1$

चरण 4.3.5.2

$120$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = 120 {(x - 3)}^{- 5}$

चरण 4.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f^{4} (x) = 120 (\frac{1}{{(x - 3)}^{5}})$

चरण 4.4.2

$120$ और $\frac{1}{{(x - 3)}^{5}}$ को मिलाएं.

$f^{4} (x) = \frac{120}{{(x - 3)}^{5}}$