कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{2} \ln (8 x)$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \ln (8 x)$ है.

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 8 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $8 x$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 1.2.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $8 x$ से बदलें.

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{8 x} \cdot \frac{d}{d x} (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$\frac{1}{8 x}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{x^{2}}{8 x} \cdot \frac{d}{d x} (8 x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 1.3.2

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{8 x} \cdot \frac{d}{d x} (8 x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 1.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.2.1

$8 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 8} \cdot \frac{d}{d x} (8 x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 1.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 8} \cdot \frac{d}{d x} (8 x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 1.3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (x) = \frac{x}{8} \cdot \frac{d}{d x} (8 x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 1.3.3

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 x$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = \frac{x}{8} \cdot (8 \frac{d}{d x} (x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 1.3.4

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.4.1

$8$ और $\frac{x}{8}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{8 x}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 1.3.4.2

$8$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.4.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (x) = \frac{8 x}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 1.3.4.2.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 1.3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = x \cdot 1 + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 1.3.6

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = x + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 1.3.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = x + \ln (8 x) (2 x)$

चरण 1.3.8

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = 2 x \ln (8 x) + x$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x \ln (8 x) + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x \ln (8 x)] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (8 x)) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (8 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x \ln (8 x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x \ln (8 x)]$ है.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (8 x)) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 2.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (8 x)$ है.

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 2.2.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $8 x$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 2.2.3.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 2.2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $8 x$ से बदलें.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{8 x} \cdot \frac{d}{d x} (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 2.2.4

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 x$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{8 x} \cdot (8 \frac{d}{d x} (x))) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 2.2.5

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{8 x} \cdot (8 \cdot 1)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 2.2.6

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{8 x} \cdot (8 \cdot 1)) + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 2.2.7

$8$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{8 x} \cdot 8) + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 2.2.8

$\frac{1}{8 x}$ और $8$ को मिलाएं.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{8}{8 x}) + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 2.2.9

$8$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.9.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{8}{8 x}) + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 2.2.9.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 2.2.10

$x$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 2.2.11

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.11.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 2.2.11.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 2.2.12

$\ln (8 x)$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (8 x)) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 2.3

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (8 x)) + 1$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (8 x) + 1$

चरण 2.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (8 x) + 1$

चरण 2.4.2.2

$2$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = 2 \ln (8 x) + 3$

चरण 3

व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 \ln (8 x) + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 \ln (8 x)] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (2 \ln (8 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 3.2

$\frac{d}{d x} [2 \ln (8 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \ln (8 x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\ln (8 x)]$ है.

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\ln (8 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 3.2.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $8 x$ के रूप में सेट करें.

$f''' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (8 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 3.2.2.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (8 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 3.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $8 x$ से बदलें.

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{8 x} \cdot \frac{d}{d x} (8 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 3.2.3

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 x$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{8 x} \cdot (8 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 3.2.4

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{8 x} \cdot (8 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 3.2.5

$8$ को $1$ से गुणा करें.

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{8 x} \cdot 8) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 3.2.6

$\frac{1}{8 x}$ और $8$ को मिलाएं.

$f''' (x) = 2 (\frac{8}{8 x}) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 3.2.7

$8$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.7.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f''' (x) = 2 (\frac{8}{8 x}) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 3.2.7.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 3.2.8

$2$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$f''' (x) = \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 3.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f''' (x) = \frac{2}{x} + 0$

चरण 3.3.2

$\frac{2}{x}$ और $0$ जोड़ें.

$f''' (x) = \frac{2}{x}$

चरण 4

चौथा व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{2}{x}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ है.

$f^{4} (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

चरण 4.2

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f^{4} (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

चरण 4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$f^{4} (x) = 2 (- x^{- 2})$

चरण 4.4

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = - 2 x^{- 2}$

चरण 4.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f^{4} (x) = - 2 \frac{1}{x^{2}}$

चरण 4.5.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.1

$- 2$ और $\frac{1}{x^{2}}$ को मिलाएं.

$f^{4} (x) = \frac{- 2}{x^{2}}$

चरण 4.5.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f^{4} (x) = - \frac{2}{x^{2}}$