कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \ln (3 x - 1)$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 3 x - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 x - 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

चरण 1.1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

चरण 1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x - 1$ से बदलें.

$\frac{1}{3 x - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{1}{3 x - 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 1.2.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{3 x - 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 1.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{3 x - 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 1.2.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3 x - 1} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 1.2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{3 x - 1} (3 + 0)$

चरण 1.2.6

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{3 x - 1} \cdot 3$

चरण 1.2.6.2

$\frac{1}{3 x - 1}$ और $3$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{3}{3 x - 1}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{3}{3 x - 1}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x - 1}]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x - 1}]$

चरण 2.1.2

$\frac{1}{3 x - 1}$ को ${(3 x - 1)}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{- 1}]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = 3 x - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 x - 1$ के रूप में सेट करें.

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x - 1$ से बदलें.

$3 (- {(3 x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$- 3 ({(3 x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

चरण 2.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 2.3.3

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 2.3.4

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 2.3.5

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 2.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 + 0)$

चरण 2.3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} \cdot 3$

चरण 2.3.7.2

$3$ को $- 3$ से गुणा करें.

$- 9 {(3 x - 1)}^{- 2}$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 9 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 2.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$- 9$ और $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 9}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 2.4.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{9}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 3

व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चूंकि $- 9$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{9}{{(3 x - 1)}^{2}}$ का व्युत्पन्न $- 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}]$ है.

$- 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}]$

चरण 3.1.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ को ${({(3 x - 1)}^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 9 \frac{d}{d x} [{({(3 x - 1)}^{2})}^{- 1}]$

चरण 3.1.2.2

घातांक को ${({(3 x - 1)}^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2 \cdot - 1}]$

चरण 3.1.2.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 9 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{- 2}]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 2}$ और $g (x) = 3 x - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 x - 1$ के रूप में सेट करें.

$- 9 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 2$ है.

$- 9 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

चरण 3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x - 1$ से बदलें.

$- 9 (- 2 {(3 x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

चरण 3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- 2$ को $- 9$ से गुणा करें.

$18 ({(3 x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

चरण 3.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 3.3.3

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 3.3.4

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 3.3.5

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 3.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 + 0)$

चरण 3.3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.7.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} \cdot 3$

चरण 3.3.7.2

$3$ को $18$ से गुणा करें.

$54 {(3 x - 1)}^{- 3}$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$54 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}$

चरण 3.4.2

$54$ और $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}$ को मिलाएं.

$f''' (x) = \frac{54}{{(3 x - 1)}^{3}}$

चरण 4

चौथा व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

चूंकि $54$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{54}{{(3 x - 1)}^{3}}$ का व्युत्पन्न $54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}]$ है.

$54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}]$

चरण 4.1.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}$ को ${({(3 x - 1)}^{3})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$54 \frac{d}{d x} [{({(3 x - 1)}^{3})}^{- 1}]$

चरण 4.1.2.2

घातांक को ${({(3 x - 1)}^{3})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$54 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{3 \cdot - 1}]$

चरण 4.1.2.2.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$54 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{- 3}]$

चरण 4.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 3}$ और $g (x) = 3 x - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 x - 1$ के रूप में सेट करें.

$54 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

चरण 4.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 3$ है.

$54 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

चरण 4.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x - 1$ से बदलें.

$54 (- 3 {(3 x - 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

चरण 4.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$- 3$ को $54$ से गुणा करें.

$- 162 ({(3 x - 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

चरण 4.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 4.3.3

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 4.3.4

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 4.3.5

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 4.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 + 0)$

चरण 4.3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} \cdot 3$

चरण 4.3.7.2

$3$ को $- 162$ से गुणा करें.

$- 486 {(3 x - 1)}^{- 4}$

चरण 4.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 486 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{4}}$

चरण 4.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.1

$- 486$ और $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{4}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 486}{{(3 x - 1)}^{4}}$

चरण 4.4.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f^{4} (x) = - \frac{486}{{(3 x - 1)}^{4}}$

चरण 5

$x$ के संबंध में $f (x)$ का चौथा व्युत्पन्न $- \frac{486}{{(3 x - 1)}^{4}}$ है.

$- \frac{486}{{(3 x - 1)}^{4}}$