कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x}{4 - 7 x}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = 4 - 7 x$ है.

$\frac{(4 - 7 x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [4 - 7 x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(4 - 7 x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [4 - 7 x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

चरण 1.2.2

$4 - 7 x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4 - 7 x - x \frac{d}{d x} [4 - 7 x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

चरण 1.2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 - 7 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ है.

$\frac{4 - 7 x - x (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 7 x])}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

चरण 1.2.4

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{4 - 7 x - x (0 + \frac{d}{d x} [- 7 x])}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

चरण 1.2.5

$0$ और $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ जोड़ें.

$\frac{4 - 7 x - x \frac{d}{d x} [- 7 x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

चरण 1.2.6

चूंकि $- 7$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 7 x$ का व्युत्पन्न $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{4 - 7 x - x (- 7 \frac{d}{d x} [x])}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

चरण 1.2.7

$- 7$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{4 - 7 x + 7 x \frac{d}{d x} [x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

चरण 1.2.8

$\frac{4 - 7 x + 7 x \cdot 1}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

चरण 1.2.9

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.9.1

$7$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4 - 7 x + 7 x}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

चरण 1.2.9.2

$- 7 x$ और $7 x$ जोड़ें.

$\frac{4 + 0}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

चरण 1.2.9.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.9.3.1

$4$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{4}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

चरण 1.2.9.3.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = \frac{4}{{(- 7 x + 4)}^{2}}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{4}{{(- 7 x + 4)}^{2}}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{2}}]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{2}}]$

चरण 2.1.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

$\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{2}}$ को ${({(- 7 x + 4)}^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 \frac{d}{d x} [{({(- 7 x + 4)}^{2})}^{- 1}]$

चरण 2.1.2.2

घातांक को ${({(- 7 x + 4)}^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{2 \cdot - 1}]$

चरण 2.1.2.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$4 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{- 2}]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 2}$ और $g (x) = - 7 x + 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- 7 x + 4$ के रूप में सेट करें.

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 2$ है.

$4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- 7 x + 4$ से बदलें.

$4 (- 2 {(- 7 x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- 2$ को $4$ से गुणा करें.

$- 8 ({(- 7 x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

चरण 2.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 7 x + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4])$

चरण 2.3.3

चूंकि $- 7$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 7 x$ का व्युत्पन्न $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (- 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

चरण 2.3.4

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (- 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

चरण 2.3.5

$- 7$ को $1$ से गुणा करें.

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (- 7 + \frac{d}{d x} [4])$

चरण 2.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (- 7 + 0)$

चरण 2.3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

$- 7$ और $0$ जोड़ें.

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} \cdot - 7$

चरण 2.3.7.2

$- 7$ को $- 8$ से गुणा करें.

$56 {(- 7 x + 4)}^{- 3}$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$56 \frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$

चरण 2.4.2

$56$ और $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{56}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$

चरण 3

व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चूंकि $56$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{56}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$ का व्युत्पन्न $56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}]$ है.

$56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}]$

चरण 3.1.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

$\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$ को ${({(- 7 x + 4)}^{3})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$56 \frac{d}{d x} [{({(- 7 x + 4)}^{3})}^{- 1}]$

चरण 3.1.2.2

घातांक को ${({(- 7 x + 4)}^{3})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$56 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{3 \cdot - 1}]$

चरण 3.1.2.2.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$56 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{- 3}]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 3}$ और $g (x) = - 7 x + 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- 7 x + 4$ के रूप में सेट करें.

$56 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 3$ है.

$56 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

चरण 3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- 7 x + 4$ से बदलें.

$56 (- 3 {(- 7 x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

चरण 3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- 3$ को $56$ से गुणा करें.

$- 168 ({(- 7 x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

चरण 3.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 7 x + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4])$

चरण 3.3.3

चूंकि $- 7$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 7 x$ का व्युत्पन्न $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (- 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

चरण 3.3.4

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (- 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

चरण 3.3.5

$- 7$ को $1$ से गुणा करें.

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (- 7 + \frac{d}{d x} [4])$

चरण 3.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (- 7 + 0)$

चरण 3.3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.7.1

$- 7$ और $0$ जोड़ें.

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} \cdot - 7$

चरण 3.3.7.2

$- 7$ को $- 168$ से गुणा करें.

$1176 {(- 7 x + 4)}^{- 4}$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$1176 \frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$

चरण 3.4.2

$1176$ और $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$ को मिलाएं.

$f''' (x) = \frac{1176}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$

चरण 4

चौथा व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

चूंकि $1176$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{1176}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$ का व्युत्पन्न $1176 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}]$ है.

$1176 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}]$

चरण 4.1.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$ को ${({(- 7 x + 4)}^{4})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$1176 \frac{d}{d x} [{({(- 7 x + 4)}^{4})}^{- 1}]$

चरण 4.1.2.2

घातांक को ${({(- 7 x + 4)}^{4})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1176 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{4 \cdot - 1}]$

चरण 4.1.2.2.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1176 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{- 4}]$

चरण 4.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 4}$ और $g (x) = - 7 x + 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- 7 x + 4$ के रूप में सेट करें.

$1176 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

चरण 4.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 4$ है.

$1176 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

चरण 4.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- 7 x + 4$ से बदलें.

$1176 (- 4 {(- 7 x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

चरण 4.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$- 4$ को $1176$ से गुणा करें.

$- 4704 ({(- 7 x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

चरण 4.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 7 x + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4])$

चरण 4.3.3

चूंकि $- 7$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 7 x$ का व्युत्पन्न $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (- 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

चरण 4.3.4

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (- 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

चरण 4.3.5

$- 7$ को $1$ से गुणा करें.

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (- 7 + \frac{d}{d x} [4])$

चरण 4.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (- 7 + 0)$

चरण 4.3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.1

$- 7$ और $0$ जोड़ें.

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} \cdot - 7$

चरण 4.3.7.2

$- 7$ को $- 4704$ से गुणा करें.

$32928 {(- 7 x + 4)}^{- 5}$

चरण 4.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$32928 \frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$

चरण 4.4.2

$32928$ और $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$ को मिलाएं.

$f^{4} (x) = \frac{32928}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$

चरण 5

$x$ के संबंध में $f (x)$ का चौथा व्युत्पन्न $\frac{32928}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$ है.

$\frac{32928}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$