कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{2} \sin (x)$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 1.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f' (x) = x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)$

चरण 1.3.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 x \sin (x))$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

$f'' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x \sin (x))$

चरण 2.2.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x \sin (x))$

चरण 2.2.3

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x \sin (x))$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x \sin (x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ है.

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (x \sin (x))$

चरण 2.3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x))$

चरण 2.3.3

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x))$

चरण 2.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

चरण 2.3.5

$\sin (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x))$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 (x \cos (x)) + 2 \sin (x)$

चरण 2.4.2

$\cos (x) (2 x)$ और $2 x \cos (x)$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$\cos (x)$ ले जाएं.

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + 2 x \cos (x) + 2 x \cos (x) + 2 \sin (x)$

चरण 2.4.2.2

$2 x \cos (x)$ और $2 x \cos (x)$ जोड़ें.

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)$

चरण 2.4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f'' (x) = - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)$

चरण 3

व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ है.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (4 x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

चरण 3.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2} \sin (x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ है.

$f''' (x) = - \frac{d}{d x} (x^{2} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (4 x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

चरण 3.2.2

$f''' (x) = - (x^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (4 x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

चरण 3.2.3

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (4 x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

चरण 3.2.4

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} (4 x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

चरण 3.3

$\frac{d}{d x} [4 x \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x \cos (x)$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ है.

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 \frac{d}{d x} (x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

चरण 3.3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

चरण 3.3.3

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

चरण 3.3.4

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

चरण 3.3.5

$\cos (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

चरण 3.4

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 2 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

चरण 3.4.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 2 \cos (x)$

चरण 3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 2 \cos (x)$

चरण 3.5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x))) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)$

चरण 3.5.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f''' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 (\sin (x) (x)) + 4 (x (- \sin (x))) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)$

चरण 3.5.3.2

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$f''' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x - 4 (x (\sin (x))) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)$

चरण 3.5.3.3

$- 2 \sin (x) x$ में से $4 x \sin (x)$ घटाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.3.1

$\sin (x)$ ले जाएं.

$f''' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 4 x \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)$

चरण 3.5.3.3.2

$- 2 x \sin (x)$ में से $4 x \sin (x)$ घटाएं.

$f''' (x) = - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)$

चरण 3.5.3.4

$4 \cos (x)$ और $2 \cos (x)$ जोड़ें.

$f''' (x) = - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)$

चरण 4

चौथा व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ है.

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

चरण 4.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2} \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2} \cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ है.

$f^{4} (x) = - \frac{d}{d x} (x^{2} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

चरण 4.2.2

$f^{4} (x) = - (x^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

चरण 4.2.3

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

चरण 4.2.4

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

चरण 4.3

$\frac{d}{d x} [- 6 x \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूंकि $- 6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 6 x \sin (x)$ का व्युत्पन्न $- 6 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ है.

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 \frac{d}{d x} (x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

चरण 4.3.2

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

चरण 4.3.3

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

चरण 4.3.4

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

चरण 4.3.5

$\sin (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

चरण 4.4

$\frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x)) + 6 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

चरण 4.4.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x)) + 6 (- \sin (x))$

चरण 4.4.3

$- 1$ को $6$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x)) - 6 \sin (x)$

चरण 4.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x))) - (\cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x)) - 6 \sin (x)$

चरण 4.5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x))) - (\cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x)) - 6 \sin (x) - 6 \sin (x)$

चरण 4.5.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = 1 (x^{2} (\sin (x))) - (\cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x)) - 6 \sin (x) - 6 \sin (x)$

चरण 4.5.3.2

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = x^{2} \sin (x) - (\cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x)) - 6 \sin (x) - 6 \sin (x)$

चरण 4.5.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = x^{2} \sin (x) - 2 (\cos (x) (x)) - 6 (x \cos (x)) - 6 \sin (x) - 6 \sin (x)$

चरण 4.5.3.4

$- 2 \cos (x) x$ में से $6 x \cos (x)$ घटाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.3.4.1

$\cos (x)$ ले जाएं.

$f^{4} (x) = x^{2} \sin (x) - 2 x \cos (x) - 6 x \cos (x) - 6 \sin (x) - 6 \sin (x)$

चरण 4.5.3.4.2

$- 2 x \cos (x)$ में से $6 x \cos (x)$ घटाएं.

$f^{4} (x) = x^{2} \sin (x) - 8 x \cos (x) - 6 \sin (x) - 6 \sin (x)$

चरण 4.5.3.5

$- 6 \sin (x)$ में से $6 \sin (x)$ घटाएं.

$f^{4} (x) = x^{2} \sin (x) - 8 x \cos (x) - 12 \sin (x)$

चरण 5

$x$ के संबंध में $f (x)$ का चौथा व्युत्पन्न $x^{2} \sin (x) - 8 x \cos (x) - 12 \sin (x)$ है.

$x^{2} \sin (x) - 8 x \cos (x) - 12 \sin (x)$