कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = {(2 x + 1)}^{4}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = 2 x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x + 1$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (2 x + 1)$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (2 x + 1)$

चरण 1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x + 1$ से बदलें.

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (2 x + 1)$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 1.2.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 1.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 1.2.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 1.2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} (2 + 0)$

चरण 1.2.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} \cdot 2$

चरण 1.2.6.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (x) = 8 {(2 x + 1)}^{3}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 {(2 x + 1)}^{3}$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$ है.

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{3})$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = 2 x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x + 1$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = 8 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f'' (x) = 8 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x + 1$ से बदलें.

$f'' (x) = 8 (3 {(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$3$ को $8$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 24 ({(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

चरण 2.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 2.3.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 2.3.4

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 2.3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 2.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} (2 + 0)$

चरण 2.3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} \cdot 2$

चरण 2.3.7.2

$2$ को $24$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 48 {(2 x + 1)}^{2}$

चरण 3

व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

${(2 x + 1)}^{2}$ को $(2 x + 1) (2 x + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 ((2 x + 1) (2 x + 1)))$

चरण 3.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(2 x + 1) (2 x + 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)))$

चरण 3.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)))$

चरण 3.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

चरण 3.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

चरण 3.3.1.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.2.1

$x$ ले जाएं.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

चरण 3.3.1.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

चरण 3.3.1.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

चरण 3.3.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

चरण 3.3.1.5

$2 x$ को $1$ से गुणा करें.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1))$

चरण 3.3.1.6

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1))$

चरण 3.3.2

$2 x$ और $2 x$ जोड़ें.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (4 x^{2} + 4 x + 1))$

चरण 3.4

चूंकि $48$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $48 (4 x^{2} + 4 x + 1)$ का व्युत्पन्न $48 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4 x + 1]$ है.

$f''' (x) = 48 \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 4 x + 1)$

चरण 3.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x^{2} + 4 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$f''' (x) = 48 (\frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 3.6

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f''' (x) = 48 (4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 3.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f''' (x) = 48 (4 (2 x) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 3.8

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$f''' (x) = 48 (8 x + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 3.9

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f''' (x) = 48 (8 x + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 3.10

$f''' (x) = 48 (8 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 3.11

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$f''' (x) = 48 (8 x + 4 + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 3.12

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f''' (x) = 48 (8 x + 4 + 0)$

चरण 3.13

$8 x + 4$ और $0$ जोड़ें.

$f''' (x) = 48 (8 x + 4)$

चरण 3.14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.14.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f''' (x) = 48 (8 x) + 48 \cdot 4$

चरण 3.14.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.14.2.1

$8$ को $48$ से गुणा करें.

$f''' (x) = 384 x + 48 \cdot 4$

चरण 3.14.2.2

$48$ को $4$ से गुणा करें.

$f''' (x) = 384 x + 192$

चरण 4

चौथा व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $384 x + 192$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [384 x] + \frac{d}{d x} [192]$ है.

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (384 x) + \frac{d}{d x} (192)$

चरण 4.2

$\frac{d}{d x} [384 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

चूंकि $384$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $384 x$ का व्युत्पन्न $384 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f^{4} (x) = 384 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (192)$

चरण 4.2.2

$f^{4} (x) = 384 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (192)$

चरण 4.2.3

$384$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = 384 + \frac{d}{d x} (192)$

चरण 4.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $192$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $192$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f^{4} (x) = 384 + 0$

चरण 4.3.2

$384$ और $0$ जोड़ें.

$f^{4} (x) = 384$

चरण 5

$x$ के संबंध में $f (x)$ का चौथा व्युत्पन्न $384$ है.

$384$