कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \cos^{2} (x)$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\cos (x)$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\cos (x))$

चरण 1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\cos (x)$ से बदलें.

$f' (x) = 2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

चरण 1.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$f' (x) = 2 \cos (x) (- \sin (x))$

चरण 1.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x)$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 \cos (x) \sin (x)$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ है.

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

चरण 2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

चरण 2.3

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

चरण 2.4

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

चरण 2.5

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

चरण 2.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = - 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

चरण 2.7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

चरण 2.8

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

चरण 2.9

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

चरण 2.10

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

चरण 2.11

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

चरण 2.12

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

चरण 2.13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x))$

चरण 2.13.2

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)$

चरण 3

व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ है.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

चरण 3.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 \cos^{2} (x)$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ है.

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \cos^{2} (x) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

चरण 3.2.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\cos (x)$ के रूप में सेट करें.

$f''' (x) = - 2 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

चरण 3.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f''' (x) = - 2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

चरण 3.2.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\cos (x)$ से बदलें.

$f''' (x) = - 2 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

चरण 3.2.3

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$f''' (x) = - 2 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

चरण 3.2.4

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f''' (x) = - 2 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

चरण 3.2.5

$- 2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

चरण 3.3

$\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \sin^{2} (x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ है.

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x))$

चरण 3.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\sin (x)$ के रूप में सेट करें.

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

चरण 3.3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

चरण 3.3.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\sin (x)$ से बदलें.

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

चरण 3.3.3

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x))$

चरण 3.3.4

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 4 \sin (x) \cos (x)$

चरण 3.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$4 \sin (x) \cos (x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 4 \cos (x) \sin (x)$

चरण 3.4.2

$4 \cos (x) \sin (x)$ और $4 \cos (x) \sin (x)$ जोड़ें.

$f''' (x) = 8 \cos (x) \sin (x)$

चरण 4

चौथा व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 \cos (x) \sin (x)$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ है.

$f^{4} (x) = 8 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

चरण 4.2

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

चरण 4.3

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

चरण 4.4

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

चरण 4.5

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

चरण 4.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f^{4} (x) = 8 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

चरण 4.7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

चरण 4.8

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

चरण 4.9

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

चरण 4.10

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

चरण 4.11

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

चरण 4.12

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

चरण 4.13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.13.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f^{4} (x) = 8 \cos^{2} (x) + 8 (- \sin^{2} (x))$

चरण 4.13.2

$- 1$ को $8$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = 8 \cos^{2} (x) - 8 \sin^{2} (x)$

चरण 5

$x$ के संबंध में $f (x)$ का चौथा व्युत्पन्न $8 \cos^{2} (x) - 8 \sin^{2} (x)$ है.

$8 \cos^{2} (x) - 8 \sin^{2} (x)$