कैलकुलस उदाहरण

$\int (t^{2} + t) \cos (3 t) d t$

चरण 1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int t^{2} \cos (3 t) + t \cos (3 t) d t$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int t^{2} \cos (3 t) d t + \int t \cos (3 t) d t$

चरण 3

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = t^{2}$ और $d v = \cos (3 t)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$t^{2} (\frac{1}{3} \sin (3 t)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) (2 t) d t + \int t \cos (3 t) d t$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{1}{3}$ और $\sin (3 t)$ को मिलाएं.

$t^{2} \frac{\sin (3 t)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) (2 t) d t + \int t \cos (3 t) d t$

चरण 4.2

$t^{2}$ और $\frac{\sin (3 t)}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) (2 t) d t + \int t \cos (3 t) d t$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{3} \cdot 2$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{3} \cdot 2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int \sin (3 t) (t) d t) + \int t \cos (3 t) d t$

चरण 6

$\frac{1}{3}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} \int \sin (3 t) (t) d t + \int t \cos (3 t) d t$

चरण 7

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = t$ और $d v = \sin (3 t)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (t (- \frac{1}{3} \cos (3 t)) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) d t) + \int t \cos (3 t) d t$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\cos (3 t)$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (t (- \frac{\cos (3 t)}{3}) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) d t) + \int t \cos (3 t) d t$

चरण 8.2

$t$ और $\frac{\cos (3 t)}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} - \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) d t) + \int t \cos (3 t) d t$

चरण 8.3

$\cos (3 t)$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} - \int - \frac{\cos (3 t)}{3} d t) + \int t \cos (3 t) d t$

चरण 9

चूँकि $- 1$ बटे $t$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} - - \int \frac{\cos (3 t)}{3} d t) + \int t \cos (3 t) d t$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + 1 \int \frac{\cos (3 t)}{3} d t) + \int t \cos (3 t) d t$

चरण 10.2

$\int \frac{\cos (3 t)}{3} d t$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \int \frac{\cos (3 t)}{3} d t) + \int t \cos (3 t) d t$

चरण 11

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (3 t) d t) + \int t \cos (3 t) d t$

चरण 12

मान लीजिए $u_{1} = 3 t$ .फिर $d u_{1} = 3 d t$ , तो $\frac{1}{3} d u_{1} = d t$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

मान लें $u_{1} = 3 t$ . $\frac{d u_{1}}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

$3 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [3 t]$

चरण 12.1.2

चूंकि $3$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $3 t$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$3 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 12.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1$

चरण 12.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$

चरण 12.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1}) + \int t \cos (3 t) d t$

चरण 13

$\cos (u_{1})$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \int \frac{\cos (u_{1})}{3} d u_{1}) + \int t \cos (3 t) d t$

चरण 14

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \cos (u_{1}) d u_{1})) + \int t \cos (3 t) d t$

चरण 15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$\frac{1}{3}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int t \cos (3 t) d t$

चरण 15.2

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int t \cos (3 t) d t$

चरण 16

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का इंटीग्रल $\sin (u_{1})$ है.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \int t \cos (3 t) d t$

चरण 17

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = t$ और $d v = \cos (3 t)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + t (\frac{1}{3} \sin (3 t)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t$

चरण 18

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

$\frac{1}{3}$ और $\sin (3 t)$ को मिलाएं.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + t \frac{\sin (3 t)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t$

चरण 18.2

$t$ और $\frac{\sin (3 t)}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t$

चरण 19

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 t) d t)$

चरण 20

मान लीजिए $u_{2} = 3 t$ .फिर $d u_{2} = 3 d t$ , तो $\frac{1}{3} d u_{2} = d t$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.1

मान लें $u_{2} = 3 t$ . $\frac{d u_{2}}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.1.1

$3 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [3 t]$

चरण 20.1.2

चूंकि $3$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $3 t$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$3 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 20.1.3

$3 \cdot 1$

चरण 20.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$

चरण 20.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

चरण 21

$\sin (u_{2})$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u_{2})}{3} d u_{2}$

चरण 22

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

चरण 23

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.1

$\frac{1}{3}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

चरण 23.2

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

चरण 24

$u_{2}$ के संबंध में $\sin (u_{2})$ का इंटीग्रल $- \cos (u_{2})$ है.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u_{2}) + C)$

चरण 25

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 25.1

सरल करें.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (u_{1})}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u_{2})) + C$

चरण 25.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 25.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (u_{1})}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} + 1 (\frac{1}{9}) \cos (u_{2}) + C$

चरण 25.2.2

$\frac{1}{9}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (u_{1})}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} + \frac{1}{9} \cos (u_{2}) + C$

चरण 25.2.3

$\frac{1}{9}$ और $\cos (u_{2})$ को मिलाएं.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (u_{1})}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} + \frac{\cos (u_{2})}{9} + C$

चरण 26

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 26.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $3 t$ से बदलें.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (3 t)}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} + \frac{\cos (u_{2})}{9} + C$

चरण 26.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $3 t$ से बदलें.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (3 t)}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} + \frac{\cos (3 t)}{9} + C$

चरण 27

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{3} t^{2} \sin (3 t) + \frac{2}{9} t \cos (3 t) - \frac{2}{27} \sin (3 t) + \frac{1}{3} t \sin (3 t) + \frac{1}{9} \cos (3 t) + C$