कैलकुलस उदाहरण

$\int (x + 4) \sqrt{3 - x} d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x + 4$ और $d v = \sqrt{3 - x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$(x + 4) (- \frac{2}{3} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

चरण 2

चूँकि $- \frac{2}{3}$ बटे $x$ अचर है, $- \frac{2}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$(x + 4) (- \frac{2}{3} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}) - (- \frac{2}{3} \int {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

चरण 3

मान लीजिए $u = 3 - x$ .फिर $d u = - d x$ , तो $- d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u = 3 - x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$3 - x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 - x]$

चरण 3.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ है.

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 3.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 3.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 - 1 \cdot 1$

चरण 3.1.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$0 - 1$

चरण 3.1.4

$0$ में से $1$ घटाएं.

$- 1$

चरण 3.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$(x + 4) (- \frac{2}{3} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}) - (- \frac{2}{3} \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

चरण 4

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$(x + 4) (- \frac{2}{3} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}) - (- \frac{2}{3} (- \int u^{\frac{3}{2}} d u))$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{3}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ है.

$(x + 4) (- \frac{2}{3} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}) - (- \frac{2}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)))$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

${(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ और $\frac{2}{3}$ को मिलाएं.

$(x + 4) (- \frac{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - (- \frac{2}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)))$

चरण 6.1.2

$2$ को ${(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(x + 4) (- \frac{2 \cdot {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (- \frac{2}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)))$

चरण 6.1.3

$\frac{2}{5}$ और $u^{\frac{5}{2}}$ को मिलाएं.

$(x + 4) (- \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (- \frac{2}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C)))$

चरण 6.1.4

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$(x + 4) (- \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (1 (\frac{2}{3}) (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

चरण 6.1.5

$\frac{2}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$(x + 4) (- \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2}{3} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

चरण 6.2

$(x + 4) (- \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2}{3} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$ को $- x \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$- x \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

चरण 6.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ और $x$ को मिलाएं.

$- \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} + \frac{- 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

चरण 6.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

चरण 6.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

चरण 6.3.4

$\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ को $\frac{2}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{- 2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5 \cdot 3} + C$

चरण 6.3.5

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{- 2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

चरण 6.3.6

$5$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{- 2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

चरण 7

$u$ की सभी घटनाओं को $3 - x$ से बदलें.

$\frac{- 2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 {(3 - x)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

चरण 8

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{3} (- 2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}) - \frac{4}{15} {(3 - x)}^{\frac{5}{2}} + C$